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#1 07-09-2023 00:12:56

Vincent62
Membre
Inscription : 26-05-2022
Messages : 314

Irrationnalité de racine de 2

Bonjour,
Je cherche une démonstration, sans passer par l'absurde, de l'irrationnalité de racine 2. En connaissez-vous une ?
Merci !

Hors ligne

#2 07-09-2023 18:24:00

Glozi
Invité

Re : Irrationnalité de racine de 2

Bonjour,
Je n'ai pas connaissance d'une telle preuve
Voici une vague idée :
Supposons qu'on ait une certaine propriété $P(x)$ (pour $x\in \mathbb{R}$) et qu'on ait prouvé $\forall x\in \mathbb{R}, x\in \mathbb{Q}\Rightarrow P(x)$.
En particulier on a prouvé $\forall x \in \mathbb{R}, \text{non}(P(x)) \Rightarrow x\not\in \mathbb{Q}$. (par contraposée)
Supposons qu'on ait également montré $\text{non}(P(\sqrt{2}))$.
Alors on déduit que $\sqrt{2}\not\in \mathbb{Q}$. (je crois bien que ce n'est pas une preuve par l'absurde, enfin, je ne suis toujours pas très au clair sur les "types" de raisonnements)

Maintenant quelle propriété $P(x)$ on pourrait choisir ?
Je pensais initialement à la suivante : $P(x)$ : "le développement en fraction continue de $x$ est fini."
On peut démontrer avec l'algorithme de division euclidienne et une récurrence que $\forall x\in \mathbb{R}, x\in \mathbb{Q}\Rightarrow P(x)$ (je n'ai pas vérifier qu'on utilise pas l'absurde la dedans, m'enfin...).

Ensuite on montre que le développement en fraction continue de $\sqrt{2}$ est infini. En effet, de la propriété $\sqrt{2}^2=2$ on trouve facilement $\sqrt{2}=1+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\cdots}}}$.

Bref, c'est une preuve qui ne commence pas par "supposons $\sqrt{2}=p/q$ avec $p$ et $q$ premiers entre eux", mais il est possible que de l'absurde ait été utilisé de manière cachée quelque part (je ne garantis rien).

Après, on peut se demander quelles sont les choses qu'on a le droit d'utiliser sur $\sqrt{2}$, déjà comment est défini ce nombre ? est-ce une application du théorème des valeurs intermédiaire ? de la borne supérieur dans les réels ? Cela suppose qu'on a déjà une construction des réels etc... est-ce que l'absurde n'a pas déjà été utilisé quelque part dans toutes ces constructions préalables pour parler de $\sqrt{2}$ ? Je n'ai pas la réponse à ces questions et j'ai la flemme de chercher.

Bonne journée

#3 08-09-2023 23:53:23

Vincent62
Membre
Inscription : 26-05-2022
Messages : 314

Re : Irrationnalité de racine de 2

Bonjour Glozi, et merci !

Hors ligne

#4 09-09-2023 10:23:55

Black Jack
Membre
Inscription : 15-12-2017
Messages : 475

Re : Irrationnalité de racine de 2

Bonjour,

Une propriété connue, démontrée  par exemple ici  :  https://www.mathweb.fr/euclide/2019/11/ … s-entiers/

... est que si une équation polynomiale à coefficients entiers a des solutions rationnelles elles sont obligatoirement du type p/q avec :
p divisant [tex]a_0[/tex] (le coefficient des x^0) et q divise [tex]a_n[/tex] (le coefficient de x^n avec n le degré du polynôme)

On considère alors l'équation x² - 2 = 0

Si elle a des solutions rationnelles p/q, on doit avoir p qui divise 2 et q qui divise 1. (d'après la propriété mentionnée au début)

Donc p = -2 ou -1 ou 1 ou 2
et q = -1 ou 1

Les seules solutions rationnelles possibles, si elles existent de x²-1 = 0 sont donc : -2 ou -1 ou 2 ou 1
On vérifie que ces seules solutions rationnelles potentielles ne conviennent pas.

Et donc x²-2 = 0 n'a pas de solutions rationnelles et [tex]\sqrt{2}[/tex] est donc irrationnel.

Reste à voir si cette manière de faire est admise ici ou si j'ai raconté des sottises.

Dernière modification par Black Jack (09-09-2023 10:25:56)

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#5 11-09-2023 15:58:27

Michel Coste
Membre
Inscription : 05-10-2018
Messages : 1 170

Re : Irrationnalité de racine de 2

Bonjour,

La démonstration classique du fait que [tex]\sqrt2[/tex] n'est pas rationnel n'est pas techniquement une démonstration par l'absurde.
La proposition "non A" est équivalente à 'si A, alors absurde" (on peut même prendre ça comme définition de "non A"). De manière générale, pour démontrer "si A alors B" on suppose "A" et on en déduit "B". Ceci n'est pas un raisonnement par l'absurde. Pour démontrer "non A", on suppose "A" et on en déduit "absurde" (dans notre histoire, "A" est "[tex]\sqrt2[/tex] est rationnel"). Ce n'est pas un raisonnement par l'absurde.
Que serait alors un raisonnement par l'absurde ? C'est la chose suivante : pour montrer "A", on suppose "non A" et on en déduit "absurde".
En général, on ne comprend pas la différence parce qu'on identifie "non non A" avec "A". Mais justement, l'essence du raisonnement par l'absurde c'est "Si non non A, alors A".
Vous avez sans doute entendu dire que la logique intuitionniste se distingue de la logique classique par le fait qu'elle n'admet pas le raisonnement par l'absurde (ou par le fait qu'elle n'admet pas le tiers exclus, ce qui est équivalent). Mais justement, la démonstration classique du fait que [tex]\sqrt2[/tex] n'est pas rationnel est parfaitement valable en logique intuitionniste.

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