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#1 31-08-2023 17:58:41
- Henderson
- Invité
Soucis dans une preuve.
Bonjour à tous le monde,
Voilà une démonstration de toute suite convergente est bornée ،
Ma question est à propos du M et m posés .
Le epsilon présente tous les nombres supérieurs strictement à 0 , donc on ne peut pas poser M et m ,car epsilon pas fixe .
#2 31-08-2023 17:59:26
- Henderson
- Invité
Re : Soucis dans une preuve.
#3 31-08-2023 18:08:22
- Glozi
- Invité
Re : Soucis dans une preuve.
Bonjour,
Tu peux prendre $\varepsilon=1$ si tu veux (ou une autre valeur fixée si tu préfères). Pour ce $\varepsilon$, la définition de la limite va te donner un $N\geq 1$ fixé, tel que si $n\geq N$ alors $\ell-1 \leq u_n\leq \ell+1$. Tu définis ensuite $M$ et $m$ comme tu l'as dit (je ne comprends pas néanmoins qui est l'indice $p$ dont tu parles dans ta preuve, et il ne faut pas aller jusqu'à $u_n$ mais jusqu'à $u_N$). Pour moi, on peut poser $M=\max(u_1,u_2,\dots,u_N,\ell+1)$ et de manière analogue pour $m$.
Bonne journée
#5 31-08-2023 18:14:10
- Henderson
- Invité
Re : Soucis dans une preuve.
Oui oui c'est clair pour moi pour epsilon=1.
Mais je veux comprendre ce cas , où on a pris epsilon en général.
On n'a pas le droit le droit de poser M et m , le epsilon présente tous les réels strictement positifs .et merci d'avance.
#6 31-08-2023 18:17:21
- Henderson
- Invité
Re : Soucis dans une preuve.
J'ai vu cette démonstration de remplacer epsilon par 1 sur internet, mais mon prof m'a dit qu'il faut comprendre celà avec epsilon quelconque car il est plus généralisé.
Merci.
#7 31-08-2023 18:22:20
- Glozi
- Invité
Re : Soucis dans une preuve.
En gros, ce que dit la preuve c'est qu'on prend un $\varepsilon>0$ quelconque (il est quelconque, mais il est fixé), après on trouve $N$ puis $M$ et $m$. Le $M$ et $m$ obtenus dépendent donc en effet du choix de départ pour $\varepsilon$. Mais il suffit de bien fixer $\varepsilon$ (à n'importe quelle valeur strictement positive, par exemple $\varepsilon=1/42$) pour fixer également $M$ et $m$.
Est-ce que c'est plus clair ou pas du tout ?
#8 31-08-2023 18:27:34
- Glozi
- Invité
Re : Soucis dans une preuve.
Plus prosaïquement :
Tu as montré $(1) : \forall \varepsilon >0,\ \exists m,M\in \mathbb{R}, \ \forall n\geq 1,\ m\leq u_n\leq M$
Toi tu veux montrer $(2) : \exists m,M\in \mathbb{R}, \ \forall n\geq 1,\ m\leq u_n\leq M$.
Maintenant il est "évident" que $(1)\Rightarrow (2)$ car on peut prendre $\varepsilon >0$ (oui c'est possible par exemple $\varepsilon=17$), et de là grace à $(1)$ on trouve $M$ et $m$ qui font que $(2)$ est vérifié.
#9 31-08-2023 19:00:42
- Henderson
- Invité
Re : Soucis dans une preuve.
Plus prosaïquement :
Tu as montré $(1) : \forall \varepsilon >0,\ \exists m,M\in \mathbb{R}, \ \forall n\geq 1,\ m\leq u_n\leq M$
Toi tu veux montrer $(2) : \exists m,M\in \mathbb{R}, \ \forall n\geq 1,\ m\leq u_n\leq M$.
Maintenant il est "évident" que $(1)\Rightarrow (2)$ car on peut prendre $\varepsilon >0$ (oui c'est possible par exemple $\varepsilon=17$), et de là grace à $(1)$ on trouve $M$ et $m$ qui font que $(2)$ est vérifié.
Merci infiniment.
#10 31-08-2023 19:02:38
- Henderson
- Invité
Re : Soucis dans une preuve.
En gros, ce que dit la preuve c'est qu'on prend un $\varepsilon>0$ quelconque (il est quelconque, mais il est fixé), après on trouve $N$ puis $M$ et $m$. Le $M$ et $m$ obtenus dépendent donc en effet du choix de départ pour $\varepsilon$. Mais il suffit de bien fixer $\varepsilon$ (à n'importe quelle valeur strictement positive, par exemple $\varepsilon=1/42$) pour fixer également $M$ et $m$.
Est-ce que c'est plus clair ou pas du tout ?
Oui , j'ai compris ce que vous avez dit , mais est ce qu'on peut dire que cette preuve edt fausse,car on n'a pas fixé epsilon ?
#11 31-08-2023 19:03:29
- Henderson
- Invité
Re : Soucis dans une preuve.
Je parle de la démonstration que j'ai partagé.
#12 31-08-2023 19:42:58
- Glozi
- Invité
Re : Soucis dans une preuve.
Dans la preuve que tu as partagé, ce qu'il manque c'est que tu n'as pas dit qui était $\varepsilon$ dans la définition de $M$ et $m$. Comme disait l'autre : "il faut toujours présenter les variables". Ce que tu peux faire c'est dire "soit $\varepsilon >0$". Cela signifie que ce $\varepsilon>0$ est fixé, puis on travaille avec. (on trouve des $M,m$ qui dépendent de $\varepsilon$ mais ce n'est pas grave quand on se souvient qu'il est fixé).
#13 31-08-2023 20:07:25
- Henderson
- Invité
Re : Soucis dans une preuve.
Dans la preuve que tu as partagé, ce qu'il manque c'est que tu n'as pas dit qui était $\varepsilon$ dans la définition de $M$ et $m$. Comme disait l'autre : "il faut toujours présenter les variables". Ce que tu peux faire c'est dire "soit $\varepsilon >0$". Cela signifie que ce $\varepsilon>0$ est fixé, puis on travaille avec. (on trouve des $M,m$ qui dépendent de $\varepsilon$ mais ce n'est pas grave quand on se souvient qu'il est fixé).
Et si on n'a pas fixé ce epsilon , c'est à dire, si on n'a pas dit : "soit epsilon >0 " ? Est ce que cette preuve deviendra fausse ?
Merci beaucoup.
#14 31-08-2023 20:30:56
- Glozi
- Invité
Re : Soucis dans une preuve.
Cette preuve ne fera rigoureusement pas vraiment sens, car comme dans (presque) toute histoire, avant de dire "elle se rend au château" il faut savoir qui est "elle".
Ta preuve parle d'un $\varepsilon$ qui n'a jamais été introduit/présenté, le lecteur peu averti ne sait pas s'il s'agit d'un entier, d'un réel, d'une fonction etc...
Donc je dirais que ta preuve ainsi écrite n'est pas complète (donc fausse si on veut).
Un lecteur averti saura directement vu ce que tu as écris au dessus que $\varepsilon$ est un réel strictement positif fixé et ça ne lui posera pas de problème.
#15 31-08-2023 20:43:37
- Zebulor
- Membre expert
- Inscription : 21-10-2018
- Messages : 2 220
Re : Soucis dans une preuve.
Bonsoir,
j'ai trouvé ce lien qui me semble intéressant sur le sujet, en cédant à la facilité :
http://christophebertault.fr/documents/ … action.pdf
Auquel je rajoute celui-ci :
http://christophebertault.fr/documents/ … ediger.pdf
Dernière modification par Zebulor (01-09-2023 13:44:26)
Hors ligne
#16 31-08-2023 23:22:03
- Henderson
- Invité
Re : Soucis dans une preuve.
Cette preuve ne fera rigoureusement pas vraiment sens, car comme dans (presque) toute histoire, avant de dire "elle se rend au château" il faut savoir qui est "elle".
Ta preuve parle d'un $\varepsilon$ qui n'a jamais été introduit/présenté, le lecteur peu averti ne sait pas s'il s'agit d'un entier, d'un réel, d'une fonction etc...
Donc je dirais que ta preuve ainsi écrite n'est pas complète (donc fausse si on veut).
Un lecteur averti saura directement vu ce que tu as écris au dessus que $\varepsilon$ est un réel strictement positif fixé et ça ne lui posera pas de problème.
Merci beaucoup Glozi.
Est ce que tu peux me donner des exemples où je peux comprendre ce genre de problème, une proposition ou une mathématique où je peux comprendre ce problème.
On comprend très efficacement en utilisant les exemples, les exemples nous facilite à comprendre.
Merci beaucoup @glozi .
#17 31-08-2023 23:33:30
- Henderson
- Invité
Re : Soucis dans une preuve.
Cette preuve ne fera rigoureusement pas vraiment sens, car comme dans (presque) toute histoire, avant de dire "elle se rend au château" il faut savoir qui est "elle".
Ta preuve parle d'un $\varepsilon$ qui n'a jamais été introduit/présenté, le lecteur peu averti ne sait pas s'il s'agit d'un entier, d'un réel, d'une fonction etc...
Donc je dirais que ta preuve ainsi écrite n'est pas complète (donc fausse si on veut).
Un lecteur averti saura directement vu ce que tu as écris au dessus que $\varepsilon$ est un réel strictement positif fixé et ça ne lui posera pas de problème.
Un exemple où on peut voir cette différence : de fixer par la phrase "soit" ,ou laisser "pour tout" ?
#18 01-09-2023 09:05:21
- Glozi
- Invité
Re : Soucis dans une preuve.
À vrai dire, je ne suis pas sûr de comprendre ta question...
En mathématiques, quand on parle d'écrire des variables, je pense à deux moments :
- quand on énonce une proposition mathématique
P.ex on a le droit dans un raisonnement de dire (si on sait ou si on a prouvé que c'est vrai) "On sait que la proposition $\forall \varepsilon >0,\ \exists m,M\in \mathbb{R},\ \forall n\geq 1,\ u_n\in[m,M]$ est vraie"
Ici on voit des variables muettes : $\varepsilon, m, M, n$ et une variable parlante : la suite $u$.
La différence c'est que la variable parlante a forcément été introduite au préalable, par exemple en disant "soit $u$ une suite réelle convergente..."
Les variables muettes naissent au début du quantificateur $\forall, \exists$ associé, et meurent à la fin. (Notons qu'on pourrait très bien changer leurs noms, mais il y a des conventions qu'on essaye de respecter, $\varepsilon$ est usuellement employé pour réel positif arbitrairement proche de $0$, $n$ est usuellement employé en tant qu'entier etc...)
Souvent, on voit des propositions mathématiques dans un énoncé d'exercice ou dans une définition mathématiques, mais ce n'est jamais comme ça qu'on rédige un raisonnement mathématique.
- Quand on fait justement un raisonnement mathématique
On introduit des variables "soit $\varepsilon >0$"
Puis on travaille avec en faisant appelle à des propositions qu'on connait :
"Soit $\varepsilon > 0$, puisqu'on sait (par définition de la limite) que la proposition $\forall \varepsilon>0, \exists N\geq 1, \forall n\geq N, |u_n-\ell|< \varepsilon$ est vraie, alors on trouve $N\geq 1$ associé à notre $\varepsilon$ tel que pour tout $n\geq N$ on ait, $|u_n-\ell|< \varepsilon$. Pour ce $\varepsilon$ et $N$ on pose $M:=...$, on vérifie alors que si $n\geq 1$ on a bien $u_n\leq M$, on conclut donc que ..."
Je te conseille de lire le lien envoyé par Zebulor si ce n'est pas déjà fait.
PS : je pense que c'est inutile que tu cites les messages précédents dans ton message (tu peux en citer une partie si tu veux faire référence à un point précis).
Bonne journée
#19 01-09-2023 14:54:11
- Henderson
- Membre
- Inscription : 01-09-2023
- Messages : 16
Re : Soucis dans une preuve.
Bonjour, j'ai compris ce que vous avez dit @glozi ,et merci pour tes liens Zebulor .
Mais , et pardonnez moi pour cette question , vous avez dit que toujours pour une démonstration qui commence par "pour tout", on doit la commencer par "soit" , mais dans cette exemple :
https://drive.google.com/file/d/1Fx27Jp … p=drivesdk
J'ai commencé par "pour tout", mais il est vraie.
Donc où est le problème ?
Merci beaucoup.
Dernière modification par Henderson (01-09-2023 14:58:23)
Hors ligne
#21 01-09-2023 16:16:52
- Glozi
- Invité
Re : Soucis dans une preuve.
Rebonjour,
Ta démo est mal rédigée, (car à un moment tu parles d'un $x$ en tant que variable parlante mais tu ne l'as jamais présenté).
Je vois essentiellement deux options :
Option 1 : sans faire appel à une variable parlante.
"On sait que $\forall x\in \mathbb{R}, \ x^2\geq 0$
donc $\forall x\in \mathbb{R}, \ x^2+1\geq 1$
donc $\forall x\in \mathbb{R}, \ \sqrt{x^2+1}\geq 1$ (par croissance de la fonction racine carrée)"
Option 2 : avec une variable parlante.
"Soit $x\in \mathbb{R}$, alors on sait que $x^2\geq 0$, donc $x^2+1\geq 1$. Donc, par croissance de la fonction racine carrée, on a $\sqrt{x^2+1}\geq 1$.
Les deux options sont valables, le problème de l'option 1, c'est que pour qu'elle soit rigoureuse il faut réécrire "$\forall x\in \mathbb{R},\ ...$" à chaque fois, ce qui est très pénible.
Bonne journée
#24 01-09-2023 18:03:00
- Zebulor
- Membre expert
- Inscription : 21-10-2018
- Messages : 2 220
Re : Soucis dans une preuve.
Bonsoir,
On peut dire tout simplement que le M et le m que j'ai posé sont fixés, donc le epsilon doit être fixé lui même .
Vous êtes d'accord ?
petite incursion : je ne suis pas sur de bien te comprendre non plus ...Et j'ai l'impression que tu prends le problème à l'envers ....
Dans ton post 2, tu écris que toute suite convergente est bornée. Et tu sembles penser que toute suite bornée est convergente, ce qui est faux : cf la discussion que tu as ouverte avec la suite des $(-1)^n$ considérée comme globale pour reprendre un adjectif de bridgslam...
L'idée ici c'est de fixer un écart initial $\varepsilon>0$. Alors il existe un rang $N$ à partir duquel l'écart entre un terme de la suite et la limite $l$ est plus petit que cet écart initial. De là vient l'encadrement de ton post #2, avec $m$ et $M$ définis par Glozi.
Intuitivement, plus ce $\varepsilon>0$ est "proche" de 0, plus $N$ est "grand"... sauf cas particulier d'une suite constante.
Dernière modification par Zebulor (02-09-2023 11:57:39)
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