Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonsoir,

petite incursion : je ne suis pas sur de bien te comprendre non plus ...Et j'ai l'impression que tu prends le problème à l'envers ....

Dans ton post 2, tu écris que toute suite convergente est bornée. Et tu sembles penser que toute suite bornée est convergente, ce qui est faux : cf la discussion que tu as ouverte avec la suite des $(-1)^n$ considérée comme globale pour reprendre un adjectif de bridgslam...

L'idée ici c'est de fixer un écart initial $\varepsilon>0$. Alors il existe un rang $N$ à partir duquel l'écart entre un terme de la suite et la limite $l$ est plus petit que cet écart initial. De là vient l'encadrement de ton post #2, avec $m$ et $M$ définis par Glozi.

Intuitivement, plus ce  $\varepsilon>0$ est "proche" de 0, plus $N$ est "grand"... sauf cas particulier d'une suite constante.

On peut dire tout simplement que le M et le m que j'ai posé sont fixés, donc le epsilon doit être fixé lui même .
Vous êtes d'accord ?

J'ai commencé ma démonstration par "pour tout", mais pourtant elle est vraie , donc où est le problème ??

À vrai dire, je ne suis pas sûr de comprendre ta question...

En mathématiques, quand on parle d'écrire des variables, je pense à deux moments :
- quand on énonce une proposition mathématique
P.ex on a le droit dans un raisonnement de dire (si on sait ou si on a prouvé que c'est vrai) "On sait que la proposition $\forall \varepsilon >0,\ \exists m,M\in \mathbb{R},\  \forall n\geq 1,\  u_n\in[m,M]$ est vraie"
Ici on voit des variables muettes : $\varepsilon, m, M, n$ et une variable parlante : la suite $u$.
La différence c'est que la variable parlante a forcément été introduite au préalable, par exemple en disant "soit $u$ une suite réelle convergente..."
Les variables muettes naissent au début du quantificateur $\forall, \exists$ associé, et meurent à la fin. (Notons qu'on pourrait très bien changer leurs noms, mais il y a des conventions qu'on essaye de respecter, $\varepsilon$ est usuellement employé pour réel positif arbitrairement proche de $0$, $n$ est usuellement employé en tant qu'entier etc...)
Souvent, on voit des propositions mathématiques dans un énoncé d'exercice ou dans une définition mathématiques, mais ce n'est jamais comme ça qu'on rédige un raisonnement mathématique.

- Quand on fait justement un raisonnement mathématique
On introduit des variables "soit $\varepsilon >0$"
Puis on travaille avec en faisant appelle à des propositions qu'on connait :
"Soit $\varepsilon > 0$, puisqu'on sait (par définition de la limite) que la proposition $\forall \varepsilon>0, \exists N\geq 1, \forall n\geq N, |u_n-\ell|< \varepsilon$ est vraie, alors on trouve $N\geq 1$ associé à notre $\varepsilon$ tel que pour tout $n\geq N$ on ait, $|u_n-\ell|< \varepsilon$. Pour ce $\varepsilon$ et $N$ on pose $M:=...$, on vérifie alors que si $n\geq 1$ on a bien $u_n\leq M$, on conclut donc que ..."

Je te conseille de lire le lien envoyé par Zebulor si ce n'est pas déjà fait.

PS : je pense que c'est inutile que tu cites les messages précédents dans ton message (tu peux en citer une partie si tu veux faire référence à un point précis).

Bonne journée

Merci beaucoup Glozi.
Est ce que tu peux me donner des exemples où je peux comprendre ce genre de problème, une proposition ou une mathématique où je peux comprendre ce problème.
On comprend très efficacement en utilisant les exemples, les exemples nous facilite à comprendre.

Merci beaucoup @glozi .

Cette preuve ne fera rigoureusement pas vraiment sens, car comme dans (presque) toute histoire, avant de dire "elle se rend au château" il faut savoir qui est "elle".
Ta preuve parle d'un $\varepsilon$ qui n'a jamais été introduit/présenté, le lecteur peu averti ne sait pas s'il s'agit d'un entier, d'un réel, d'une fonction etc...
Donc je dirais que ta preuve ainsi écrite n'est pas complète (donc fausse si on veut).
Un lecteur averti saura directement vu ce que tu as écris au dessus que $\varepsilon$ est un réel strictement positif fixé et ça ne lui posera pas de problème.

Dans la preuve que tu as partagé, ce qu'il manque c'est que tu n'as pas dit qui était $\varepsilon$ dans la définition de $M$ et $m$. Comme disait l'autre : "il faut toujours présenter les variables". Ce que tu peux faire c'est dire "soit $\varepsilon >0$". Cela signifie que ce $\varepsilon>0$ est fixé, puis on travaille avec. (on trouve des $M,m$ qui dépendent de $\varepsilon$ mais ce n'est pas grave quand on se souvient qu'il est fixé).

Oui , j'ai compris ce que vous avez dit , mais est ce qu'on peut dire que cette preuve edt fausse,car on n'a pas fixé epsilon ?