Forum de mathématiques - Bibm@th.net
Vous n'êtes pas identifié(e).
- Contributions : Récentes | Sans réponse
#1 12-10-2013 17:22:37
- Charmander
- Membre
- Inscription : 12-10-2013
- Messages : 9
Existence d'une double composition de fonctions
Bonjour,
j'ai un exercice très intéressant dans mon DM de Maths Sup mais que je peine à faire:
Il s'agit d'étudier la bijectivité de l'application i de R^R dans R^R, qui à toute fonction f associe f о f.
Il est évident que i n'est pas injective en prenant par exemple la fonction IdR et une fonction involutive de R dans R, qui ont la même image par i.
Cependant, je n'arrive pas à prouver la non-surjectivité de i: il s'agit de trouver un contre-exemple g dans R^R tel que g n'est pas la double composition d'une fonction f et le PROUVER. J'ai essayé de raisonner sur la parité, la positivité ou encore le degré mais cela ne mène pas à grand chose... Aidez moi !
Merci d'avance
Hors ligne
#3 13-10-2013 20:20:02
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 352
Re : Existence d'une double composition de fonctions
Re-
Une petite marche digestive, et j'ai trouvé comment faire!
Je vais t'expliquer comment j'y suis arrivé, parce que finalement la méthode est plus importante que la solution.
Je me suis dit : puisque je n'y arrive pas avec une fonction de R dans R, essayons un cas plus simple.
L'exemple le plus simple que l'on puisse espérer est pour les applications d'un ensemble à deux éléments dans lui-même,
disons {0,1}. Là, c'est facile, parce qu'on a 4 applications et qu'on peut réaliser tous les calculs. Et là, il est
facile de voir que l'application g(0)=1 et g(1)=0 ne s'écrit pas fof.
Pour une application de R dans R, il suffit de la compléter. Posons donc
[tex]g(0)=1,\ g(1)=0[/tex] et [tex]g(x)=2[/tex] sinon. Alors on ne peut pas écrire [tex]g=f\circ f[/tex]. Imaginons que cela soit possible.
Alors,
* si f(0)=0, ce ne fonctionne pas.
* si f(0)=1, alors f(1)=1, mais fof(1)=1 qui ne vaut pas g(0)=0
Donc f(0)=a avec a différent de 0 ou 1, et de la même façon f(1)=b avec b différent de 0 ou 1.
Mais alors fof(0)=1 et donc f(a)=1.
On a aussi fof(1)=0 et donc f(b)=0.
Mais de plus, 2=g(a)=fof(a)=f(1)=b, et de la même façon a=2.
Ceci est une contradiction, car on devrait avoir f(2)=1 et f(2)=0.
Fred.
Hors ligne
#4 13-10-2013 21:40:21
- Charmander
- Membre
- Inscription : 12-10-2013
- Messages : 9
Re : Existence d'une double composition de fonctions
Je vois ! C'est une belle démonstration astucieuse :)
Merci beaucoup ^^
Hors ligne