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#1 13-05-2012 16:09:19
- Niryub
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Problème sur la décomposition en élément simple
Bonjour,
J'ai un problème avec le DSE d'une fonction : f(x)= (x^2-1)/(x^2*cost*z+1)
Je décompose en éléments simples : le dénominateur se décompose en : (x-exp(it))(x-exp(-it))
D'après le thm fondamental de la décomposition en élément simple il existe a complexe tq :
f(x)= a /(x-exp(it)) + a barre/(x-exp(-it))
En isolant de la sorte : a barre + a*(x-exp(it))/(x-exp(-it)= f(x)*(x-exp(it))
Puis en faisant x=exp(it), il vient que a=-exp(it) et a barre= -exp(-it)
Mais quand je vérifie ma décomposition en élément simple pas moyen de faire apparaître ce x^2.
En tâtonnant, je remarque que si je fais f(x)= 1 + a/x-exp(it) + a barre / (x-exp(-it))
Je tombe sur la bonne fonction rationnel. Mais pourquoi ?
Quelle erreur ai-je fais dans le théorème fondamental de la décomposition en élément simple ? J'ai beau regarder mon numérateur et dénominateur sont bien premiers entres eux et j'ai bien un dénominateur scindé à zéros simple ..
Merci
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#3 13-05-2012 18:38:06
- Niryub
- Membre
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- Messages : 15
Re : Problème sur la décomposition en élément simple
Pardon j'avais pas vu le convertisseur de langage (génial outil soit dit en passant)
je le refais, voilà la fonction dont on doit faire un DSE0 : [tex]\frac{{x}^{2}-1}{{x}^{2}-2\cos \left(t\right)z+1}[/tex]
[tex]\frac{{x}^{2}-1}{{x}^{2}-2\cos \left(t\right)z+1}[/tex] [tex]\equiv \frac{a}{\left(x-\exp \left(it\right)\right)}\,+\,\frac{\bar{a}}{\left(x-\exp \left(-it\right)\right)}[/tex]
Je procède à ma décomposition en isolant a
[tex]\frac{{x}^{2}-1}{\left(x-\exp \left(-it\right)\right)}\,\equiv \,a\,+\,\frac{\bar{a}\left(x-\exp \left(it\right)\right)}{\left(x-\exp \left(-it\right)\right)}[/tex]
D'ou en x= [tex]\equiv \exp \left(it\right)[/tex]
Il vient que a [tex]\equiv -\exp \left(it\right)[/tex]
Donc [tex]\bar{a}\equiv \,-\exp \left(-it\right)[/tex]
(Le triple égal signifiant égale)
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#5 13-05-2012 19:24:27
- totomm
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Re : Problème sur la décomposition en élément simple
Bonsoir,
Mieux vaut obtenir d'abord un numérateur P de degré inférieur à celui du dénominateur Q....soit f(x) = 1 + P/Q
Cordialement.
Dernière modification par totomm (13-05-2012 19:26:58)
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#6 13-05-2012 20:08:21
- Niryub
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Re : Problème sur la décomposition en élément simple
Ah je vois, il s'agit de calculer la partie entière de la fraction rationnelle. Pourtant dans l'énoncé ( en ma possession, méthode X algèbre), les hypothèse du théorème ne précise pas que le degré du numérateur doit être inférieur à celui du dénominateur. Il suffit que la fraction rationnelle soit irréductible. Si j'ai bien compris, il faut donc abaisser le degré du numérateur (N) et trouver une combinaison au numérateur tel que N = N' + N". Avec N' divisible par D (le dénominateur) et N" et D premiers entres eux ?Il faudrait alors faire la division euclidienne de N par P et choisir le reste pour N" et le quotient pour N' ? Je suis pas trop au point sur la décomposition en éléments simple, puisqu'on a pas encore eu de cours théorique dessus...
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#7 13-05-2012 20:17:46
- Fred
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- Messages : 7 348
Re : Problème sur la décomposition en élément simple
Pour développer juste un peu ce que dit totomm, tu as oublié la partie entière de ton développement en élément simples....
Ici, elle est constante car ta fraction rationnelle est un quotient de deux polynômes de même degré.
Fred.
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