Forum de mathématiques - Bibm@th.net

majumell

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Démonstration

Salut à tous; s'il vous plait je viens de recevoir un exercice que je doit rendre demain matin, j'ai besoin d'aide. voici l'énoncé:
soit n un entier supérieur ou égale à 3;
Montrer que ∀ k∊⧼2;...;n⧽  1/k!≤1/2^(k-1);
En déduire que ∀ k∊⧼2;...;n⧽ (n¦k)/n^k≤1/2^(k-1).

yoshi

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Re : Démonstration

Bonjour,

Bienvenue à bord...
Pour ta première question, montrer que
[tex]\frac{1}{k!}\leq\frac{1}{2^{k-1}}[/tex]
équivaut à montrer que :
[tex]2^{k-1}\leq k![/tex]

Je traiterais ça par récurrence...
1. Vérifier pour des valeurs simples de k
2. Supposer la formule vraie pour [tex]k=m \leq n[/tex]
3. Prouver alors que c'est vrai pour k=m+1
    [tex]2^{m-1}\leq m! \Leftrightarrow 2\times^{m-1}\leq 2\times m![/tex]
    Et il est facile de prouver que [tex]2\times m! \leq (m+1)![/tex]

Pour ta 2e question :
[tex]\frac{n¦k}{n^k}\leq \frac{1}{2^{k-1}}[/tex]
désolé, je ne vois pas ce qu'est le symbole ¦...

@+

[EDIT]
k=m<= n me gêne un peu...
Pourquoi pas classiquement : vrai pour k =n et test de l'héritage avec k=n+1 ?...

Dernière modification par yoshi (12-02-2012 21:10:48)

majumell

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Re : Démonstration

Merci pour l'aide. Le symbole c'est la combinaison de k élément parmi n.

yoshi

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Re : Démonstration

Ok !

Ça manquait à ma culture...
Donc on cherche :

[tex]\frac{\frac{n!}{k!(n-k)!}}{n^k}\leq \frac{1}{2^{k-1}}[/tex]
soit :
[tex]\frac{n!}{k!(n-k)!}\times \frac{1}{n^k}\leq \frac{1}{2^{k-1}}[/tex] ou encore [tex]\frac{n(n-1)...(n-k+1)}{k!}\times \frac{1}{n^k}\leq \frac{1}{2^{k-1}}[/tex]

soit enfin :
[tex]\frac{1}{k!}\times \frac{n(n-1)...(n-k+1)}{n^k}\leq \frac{1}{2^{k-1}}[/tex]

sachant que [tex]\frac{1}{k!}\leq\frac{1}{2^{k-1}}[/tex]

Avec :
1. [tex] \frac{n(n-1)...(n-k+1)}{n^k}\leq 1[/tex]
2. [tex]\frac{1}{k!}\leq\frac{1}{2^{k-1}}[/tex]

ça devrait suffire..

@+

PS
Comme tu peux le constater, avec l'écriture LaTeX, ç'est tout de suite plus clair...
1. Soit on utilise LaTeX directement, sans autre forme de procès, en se référant à cette page Code LaTeX,
2. Soit, si on a Java installé, on utilise le bouton Insérer une équation. Page d'aide au démarrage en pdf dispo depuis l'Editeur d'équations (s'utilise comme celui de Word ou de OpenOffice).