Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Ok !

Ça manquait à ma culture...
Donc on cherche :

[tex]\frac{\frac{n!}{k!(n-k)!}}{n^k}\leq \frac{1}{2^{k-1}}[/tex]
soit :
[tex]\frac{n!}{k!(n-k)!}\times \frac{1}{n^k}\leq \frac{1}{2^{k-1}}[/tex] ou encore [tex]\frac{n(n-1)...(n-k+1)}{k!}\times \frac{1}{n^k}\leq \frac{1}{2^{k-1}}[/tex]

soit enfin :
[tex]\frac{1}{k!}\times \frac{n(n-1)...(n-k+1)}{n^k}\leq \frac{1}{2^{k-1}}[/tex]

sachant que [tex]\frac{1}{k!}\leq\frac{1}{2^{k-1}}[/tex]

Avec :
1. [tex] \frac{n(n-1)...(n-k+1)}{n^k}\leq 1[/tex]
2. [tex]\frac{1}{k!}\leq\frac{1}{2^{k-1}}[/tex]

ça devrait suffire..

@+

PS
Comme tu peux le constater, avec l'écriture LaTeX, ç'est tout de suite plus clair...
1. Soit on utilise LaTeX directement, sans autre forme de procès, en se référant à cette page Code LaTeX,
2. Soit, si on a Java installé, on utilise le bouton Insérer une équation. Page d'aide au démarrage en pdf dispo depuis l'Editeur d'équations (s'utilise comme celui de Word ou de OpenOffice).

Bonjour,

Bienvenue à bord...
Pour ta première question, montrer que
[tex]\frac{1}{k!}\leq\frac{1}{2^{k-1}}[/tex]
équivaut à montrer que :
[tex]2^{k-1}\leq k![/tex]

Je traiterais ça par récurrence...
1. Vérifier pour des valeurs simples de k
2. Supposer la formule vraie pour [tex]k=m \leq n[/tex]
3. Prouver alors que c'est vrai pour k=m+1
    [tex]2^{m-1}\leq m! \Leftrightarrow 2\times^{m-1}\leq 2\times m![/tex]
    Et il est facile de prouver que [tex]2\times m! \leq (m+1)![/tex]

Pour ta 2e question :
[tex]\frac{n¦k}{n^k}\leq \frac{1}{2^{k-1}}[/tex]
désolé, je ne vois pas ce qu'est le symbole ¦...

@+

[EDIT]
k=m<= n me gêne un peu...
Pourquoi pas classiquement : vrai pour k =n et test de l'héritage avec k=n+1 ?...