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mathieu64

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norme

Bonjour,

J'aimerais avoir une méthode pour déterminer pour quel alpha l'integrale de f converge dans la boule unité. Pour l'instant j'ai éssayé dans [tex]  \mathbb{R}  dans  \mathbb{R}^2  , dans  \mathbb{R}^3   [/tex]

et à chaque fois je trouve [tex]  \alpha<n [/tex]  le problème c'est que j'utilise un changement de variable en polaire et dans les dimensions plus grande je sais pas si il y a une technique moins lourde.

[tex]     f: \mathbb{R}^n -> \mathbb{R} 
                   x->\frac{1}{\|(x)\|^\alpha}

      [/tex]

Merci d'avance.

Dernière modification par mathieu64 (01-03-2011 17:58:48)

Fred

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Re : norme

Bonsoir,

  A mon avis, le passage en coordonnées polaires est une bonne technique.
Est-ce vraiment si lourd? On peut faire un changement de variables en coordonnées polaires
(sphériques?) dans toutes les dimensions, la formule n'est pas si dure, et ca permet très facilement de
conclure pour ton exo.

Fred.

mathieu64

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Re : norme

Je te remercie.

Groupoid Kid

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Re : norme

Est-ce vraiment si lourd? On peut faire un changement de variables en coordonnées polaires
(sphériques?) dans toutes les dimensions, la formule n'est pas si dure, et ca permet très facilement de
conclure pour ton exo.

Je serai curieux d'avoir le détail du calcul en dimension supérieure ? Bêtement j'ai pris l'angle dans la sphère ad'hoc ([tex]\theta\in S^{n-1}\subset\mathbb{R}^n[/tex]) et là j'ai dû calculer le jacobien du changement de variables entre [tex]\mathbb{R}^n[/tex] et ... une variété ! (et là c'est dur). Comment qu'y faut fezé ?

EDIT : Je dis n'importe quoi ^^;
Avec des variétés on intègre des formes différentielles et non des fonctions, il n'y a donc pas d'histoire de jacobien. Et il est effectivement facile de voir que [tex]P^*\det=dr\wedge(r^{n-1}\,d\theta)[/tex] !

GK, rouillé

Dernière modification par Groupoid Kid (08-03-2011 16:05:06)