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#1 29-07-2010 18:02:15
Derivée, integrale
Bonjour Messieurs,
L'exercice que je poste ici est un extrait du sujet de concours d'entrée à l'EAMAC de 2009.
Ben voilà que j'ai fouillé sur internet depuis plus d'un an; je n'ai pas trouvé de ressources permettant de m'aider à comprendre. Alors si quelqu'un pouvait me donner un coup de main ça sera un réel aide pour moi.
Voici :
Soit f une fonction continue sur R. On pose
- [tex]F\left(x\right)=\frac{1}{h²}\,\int^{h}_{0}d\mathcal{I}\int^{h}_{0}f\left(x+\mathcal{N}+\mathcal{I}\right)d\mathcal{N}\,,\,h>0.[/tex]
Calculer F''(x).
NB: il ya quelque symbole que je n'ai pas trouvé dans le Latex, donc j'ai remplacé par d'autres j'espère que ce n'est pas trop grave( sinon il s'agissait de dzeta et eta). j'espère quelqu'un reconnaitra l'énoncé!
Merci d'avance
Dernière modification par tsaloum (29-07-2010 18:04:32)
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#2 29-07-2010 19:43:02
- yoshi
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Re : Derivée, integrale
Salut tsaloum,
Et bienvenue à bord...
Pas de soucis, je pense : on a quelques intervenants très "pointus", dont Fred notre admin et créateur du site...
Moi, je suis largué...
Latex.
Il ne fallait pas chercher \dzeta mais \zeta, quant à \eta il est bel et bien répertorié :
[tex]\zeta\;\;\eta[/tex]
Si tu as besoin de quelque chose d'un peu plus évolué que ma page d'initiation Code LateX, ainsi que je l'ai signalé sur ladite page, il faut aller jeter un oeil sur :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Aide:Formules_TeX
@+
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#3 29-07-2010 22:50:48
- freddy
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Re : Derivée, integrale
Salute tutti !
Je me souvenais bien que cette question avait déjà été posée : va voir là http://www.bibmath.net/forums/viewtopic.php?id=3610
Bon courage.
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#4 30-07-2010 11:38:06
Re : Derivée, integrale
Merci Freddy et thadrien,
Mais la question n'est pas repondu sur www.bibmath.net/forums/viewtopic.php?id=3610.
il ya des idées pour parfaire l'enoncé. de mon côté l'enoce est correctement ecrit.
en supposant qu'il n'y pas d'erreur, j'ai combiné les indications de Fredy et thadrien, ce qui m'a donné :
de [tex]F\left(x\right)=\frac{1}{h}\int^{h}_{0}f\left(x+\zeta+\eta\right)d\eta[/tex] de freddy
[tex],F\left(x\right)=\frac{1}{h}\int^{h+x+\eta}_{x+\eta}f\left(\zeta\right)d\zeta=\frac{1}{h}\left(G\left(h+x+\eta\right)-G\left(x+\eta\right)\right) ,[/tex]
j'ai eu [tex]F'\left(x\right)=\frac{1}{h}\left(\right)G'\left(h+x+\eta\right)-G'\left(x+\eta\right)[/tex]
ensuite j'ai remplacé G' par f ce qui m'a donné :
[tex]F'\left(x\right)=\frac{1}{h}f\left(h+x+\eta\right)-\frac{1}{h}f\left(x+\eta\right) ;\,F''\left(x\right)=\frac{1}{h}f'\left(h+x+\eta\right)+\frac{1}{h}f'\left(x+\eta\right)[/tex]
est ce correcte. sinon quelqu'un pourrait-il me donner un coup de main
Dernière modification par tsaloum (30-07-2010 11:40:59)
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#5 30-07-2010 15:54:55
- Valentin
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- Messages : 143
Re : Derivée, integrale
Salut,
Il te manque une parenthèse dans ta dérivé première de F(x):
Merci Freddy et thadrien,
j'ai eu [tex]F'\left(x\right)=\frac{1}{h}\left(\right)G'\left(h+x+\eta\right)-G'\left(x+\eta\right)[/tex]
ensuite j'ai remplacé G' par f ce qui m'a donné :
[tex]F'\left(x\right)=\frac{1}{h}f\left(h+x+\eta\right)-\frac{1}{h}f\left(x+\eta\right) ;\,F''\left(x\right)=\frac{1}{h}f'\left(h+x+\eta\right)+\frac{1}{h}f'\left(x+\eta\right)[/tex]
et un signe moins au deuxième terme de ta dérivé seconde (tu dérives par rapport à x!)
Valentin
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#6 31-07-2010 08:37:36
- freddy
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- Messages : 7 457
Re : Derivée, integrale
A mon ami tsaloum,
une toute petit question qui s'adresse au Professeur de Maths que tu es : quel est l'intérêt pédagogique du calcul demandé sous la forme que tu indiques ? Ne penses tu pas qu'en fait, on veut vérifier que les candidats ont bien compris quelques notions du calcul intégral ?
Une sous petite question : pourquoi fait on apparaître la variable [tex]\zeta[/tex] dans la fonction f et demanderait on de calculer une intégrale par rapport à cette variable sans prendre la fonction en compte ?
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#7 31-07-2010 12:00:58
Re : Derivée, integrale
Merci Freddy,
Au fait le sujet n'est pas le mien. C'est extrait dans une épreuve de Mathématiques du concours d'entrée à l'EAMAC (Ecole Africaine de la Météorologie et de l'aviation Civile).En plus je suis professeur de Lycée et non de l'Université. Ici à l'Université il n'y a pas question de Pédagogie(en tout je ne pense pas) les professeurs utilisent des anciens documents.
Merci a tous de vos différentes intervention.
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#8 02-08-2010 10:23:14
Re : Derivée, integrale
A mon ami tsaloum,
une toute petit question qui s'adresse au Professeur de Maths que tu es : quel est l'intérêt pédagogique du calcul demandé sous la forme que tu indiques ? Ne penses tu pas qu'en fait, on veut vérifier que les candidats ont bien compris quelques notions du calcul intégral ?
Une sous petite question : pourquoi fait on apparaître la variable [tex]\zeta[/tex] dans la fonction f et demanderait on de calculer une intégrale par rapport à cette variable sans prendre la fonction en compte ?
Merci Freddy,et bonjour chers amis
après avoir longtemps reflechi sur ces mots, je me suis a fouillé dans les anciens livres , d'où j'ai trouvé qu'il ecrivait bel et bien
[tex]\int^{b}_{a}dx\,\int^{b'}_{a'}f\left(x,y\right)dy\,\,pour\,\,\,\int^{b}_{a}\left(\int^{b'}_{a'}f\left(x,y\right)dy\right)dx\,\,\,donc\,notre\,integrale\,est\,une\,integrale\,double[/tex].
donc [tex]F\left(x\right)=\frac{1}{h²}\int^{h}_{0}d\eta\,\int^{h}_{0}f\left(x+\eta+\zeta\right)d\zeta\,serait\,F\left(x\right)=\frac{1}{h²}\int^{h}_{0}\left(\int^{h}_{0}f\left(x+\eta+\zeta\right)d\zeta\right)d\eta\,\,comme\,tu\,l'avais\,signalé. [/tex] .
f étant, il existe une fonction G telque G'=f, en introduisant G dans la focntion on aura:
[tex]F\left(x\right)=\frac{1}{h²}\int^{h}_{0}\left[G\left(h+x+\eta\right)-G\left(x+\eta\right)\right]d\eta\,.\,[/tex] .
Je suis bloqué ici, car rien ne prouve que G à son tour est continue.
Je compte sur votre aimable soutien.
Merci!!!
Dernière modification par tsaloum (02-08-2010 10:44:37)
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#9 02-08-2010 11:48:50
- freddy
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- Messages : 7 457
Re : Derivée, integrale
Salut tsaloum !
On sait qu'une fonction peut être continue sans être dérivable.
Mais ce dont on est certain est que si elle est dérivable, alors elle est continue ...
G est continue, donc intégrable à son tour; ce qui justifie que F existe (il ne manque que son domaine de définition de f, je pense que le sujet doit le préciser).
Dernière modification par freddy (02-08-2010 13:58:37)
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#10 02-08-2010 12:33:29
Re : Derivée, integrale
Merci Freddy,
excuse, j'étais tellement concentré sur autre chose, que j'ai oublié que toute fonction dérivable est continue, et que toute fonction continue admet une primitive.
Rien n'est donnée sur F, mais je pense pas qu'on ait besoin de ça non plus.
G étant intégrable. donc il existe une fonction H tel que H'=G.
donc :
[tex]F\left(x\right)=\frac{1}{h²}\left(\int^{h}_{0}G\left(h+x+\eta\right)d\eta\,-\int^{h}_{0}G\left(x+\eta\right)d\eta\right)=\frac{1}{h²}\left(H\left(x+2h\right)-H\left(x+h\right)-H\left(x\right)+H\left(x+h\right)\right) [/tex]
donc [tex]F\left(x\right)=\frac{1}{h²}\left(H\left(x+2h\right)-H\left(x\right)\right),\text{ en\,dérivant\,deux\,fois\,H,\,on\,aura }F''\left(x\right)=\frac{1}{h²}\left(f\left(x+2h\right)-f\left(x\right)\right)[/tex] .
Je crois que c'est ce qui a été demandé. je ne pense pas qu'il y ait d'autre possibilité d'aller loin!
Si vous remarquez des erreurs ou des incompatibilités ou si vous avez une autre méthode pour aller plus loin. A vous l'honneur!
Merci pour votre contribution, particulièrement à Freddy!!!!
Dernière modification par tsaloum (02-08-2010 12:35:36)
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#11 03-08-2010 00:40:38
- freddy
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- Messages : 7 457
Re : Derivée, integrale
Re,
qques corrections de forme :
[tex]F\left(x\right)=\frac{1}{h^2}\left(\int^{h}_{0}G\left(h+x+\eta\right)d\eta\,-\int^{h}_{0}G\left(x+\eta\right)d\eta\right)=\frac{1}{h^2}\left(H\left(x+2h\right)-2\times H\left(x+h\right)+H\left(x\right)\right) [/tex]
et [tex]F''\left(x\right)=\frac{1}{h^2}\left(f(x+2h)-2f(x+h)+f(x)\right)[/tex] .
Mais j'ai un "gros" doute ...
Je cherche un peu (je pense qu'il ne faut pas confondre [tex]f(x,y,z)[/tex] et [tex] f(t)\; avec\; t=x+y+z[/tex], mais je pense que Fred ou Barbichu ou un même calibre pourraient nous dire rapidement ce qu'il en est.
En effet, la division par [tex]h^2[/tex] n'est pas anodine et renvoie à la notion de valeur moyenne d'une intégrale sur un segment, notion définie par
[tex]m=\frac{1}{b-a}\int_a^bf(x)dx,\;a < b[/tex]
Dernière modification par freddy (03-08-2010 09:21:08)
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#12 03-08-2010 10:29:01
Re : Derivée, integrale
@freddy : je viens de refaire le calcul à la maison par 2 méthodes différentes (primitives et utilisation des distributions), et je trouve à chaque fois le même résultat que toi.
Pour le h^2, je me demande si ce problème n'est pas une adaptation d'un morceau d'un problème plus gros. Un exercice de traitement du signal par exemple ?
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