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pokkiri

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ensemble

Bonjour à tous,

N'ayant pas grand chose à faire pendant les vacances, je m'avance un peu sur le programme de sup. C'est pourquoi les questions que je pose doit vous paraître simples.

Voilà ma question: E étant un ensemble

[tex]Montrer\,par\,contraposition\,l'assertion\,suivante\,:\, \forall A,B,C\in P\left(E\right)\,\,\left(A\cap B=A\cap C\,et\,A\cup B=A\cup C\right)\Rightarrow \,B=C[/tex]

Merci de votre aide.

Fred

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Re : ensemble

Bonjour Pokkiri,

  On veut démontrer la contraposée, c'est à dire :
[tex]B\neq C\implies (A\cap B\neq A\cap C ou A\cup B\neq A\cup C).[/tex]

Si [tex]B\neq C[/tex], alors par symétrie du problème on peut toujours supposer qu'il existe [tex]x\in B[/tex]
tel que [tex]x\notin C[/tex].

On distingue alors deux cas :
1. Si [tex]x\in A[/tex], alors [tex]x\in A\cap B[/tex] alors que [tex]x\notin A\cap C[/tex]
2. Si [tex]x\notin A[/tex], alors [tex]x\notin A\cup C[/tex] alors que [tex]x\in A\cup B[/tex].

Dans les deux cas, on a
[tex](A\cap B\neq A\cap C ou A\cup B\neq A\cup C)[/tex]

On a donc prouvé le résultat par le principe de contraposition.

Fred.

pokkiri

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Re : ensemble

Merci Fred, tes explications sont toujours clairs. Je pense qu'il me faut un peu plus d'habitude avec les ensembles.
Merci