Forum de mathématiques - Bibm@th.net

PhilT1

Membre

Inscription : 26-11-2024

Messages : 17

Polynôme du second degré avec paramètre

Bonjour

Ci-dessous le texte d'un problème que je ne parviens pas à conclure :

Soit un réel m et f  la fonction trinôme :  f(x) = m.(x+2).(mx-3) + (x+1).(x+m²+9)

1/ déterminer les réels f(0) et f(-2) :

     je trouve : f(0)  = (m-3)²  et  f(-2) = -(m²+7) ; j'en conclus déjà que : [tex]\forall [/tex] m [tex]\in \mathbb{R} [/tex] , f(0) [tex]\ge[/tex] 0 et f(-2) [tex]\le[/tex] -7

2/ en déduire que :  [tex]\forall [/tex] m [tex]\in \mathbb{R} [/tex] l'équation f(x) = 0 a dans [tex] \mathbb{R} [/tex] deux solutions distinctes.

C'est là que je ne parviens pas à faire la déduction à partir des valeurs calculées pour f(0) et f(-2)...

Pour que l'équation ait deux solutions réelles distinctes, il faut que le discriminant du premier membre soit strict. positif. En développant f(x), j'obtiens un polynôme de degré 4 qui n'est pas 'bicarré', et qui ne se factorise pas (ce qui ne me surprend pas puisqu'il est censé être toujours strict. positif pour toute valeur de m... ; j'ai tracé la courbe de la fonction 'discriminant' sur un logiciel, effectivement elle semble être toujours à valeurs positives - sur mon intervalle choisi en tout cas   [-50 ; +50] -).

Alors comment à partir de la question faire la déduction demandée à la question 2

Merci par avance pour votre aide.

Roro

Membre expert

Inscription : 07-10-2007

Messages : 1 797

Re : Polynôme du second degré avec paramètre

Bonjour,

Tes calculs semblent justes.

Ton erreur est peut être celle-ci : si tu développes $f$ alors tu obtiens un polynôme de degré 2, et non pas un polynôme de degré 4.

Ensuite, tu dois savoir qu'un polynôme de degré 2 admet soit 0 racine réelle, soit 1 racine réelle, soit 2 racines réelles distinctes.
Dans les deux premiers cas (et uniquement dans ces cas), le polynôme aura un signe constant.

Ici, tu as montré que le signe n'est pas constant : tu es donc dans le dernier cas : il y a exactement deux racines réelles distinctes.

Roro.

Dernière modification par Roro (02-12-2025 11:40:12)

PhilT1

Membre

Inscription : 26-11-2024

Messages : 17

Re : Polynôme du second degré avec paramètre

>> Roro,  merci d'avoir répondu rapidement. Effectivement, c'est le raisonnement qu'il fallait adopter pour conclure, j'en suis maintenant convaincu.

f est bien sûr un polynôme de degré 2, mais c'est son discriminant, dont je voulais étudier le signe, qui est de degré 4 (non bicarré).

Merci de m'avoir permise de conclure.

Philippe

DeGeer

Membre

Inscription : 28-09-2023

Messages : 210

Re : Polynôme du second degré avec paramètre

Bonjour
Tu sais que $f(-2)<0$ et $f(0) \geq 0$.
Tu peux distinguer les cas suivant que $f(0)>0$ ou $f(0)=0$.
Dans le premier cas, tu peux utiliser le théorème des valeurs intermédiaires (je ne sais pas si tu l'as vu) pour prouver qu'il existe une racine, puis tu conclus en disant que cette racine ne peut être double puisque la fonction $f$ change de signe. Dans le deuxième cas, tu peux calculer $m$ et vérifier qu'il y a bien deux racines distinctes.

PhilT1

Membre

Inscription : 26-11-2024

Messages : 17

Re : Polynôme du second degré avec paramètre

>> Effectivement, le TVI, je n'y pensais dans ce contexte....

Sans vouloir trop entrer dans les détails, que comprends-tu par "calculer m", ? J'ai fait quelques teste en donnant plusieurs valeurs différentes à m, chaque fois j'obtenais une équation à discriminant positif, mais quelques tests ne permettent pas de conclure en général, sauf à mettre en évidence un contre-exemple, ce qui n'est pas le cas ici. T'ai-je bien compris sur ce point ?

En tout cas, merci pour ta réponse.

Philippe

Rescassol

Membre

Lieu : 30610 Sauve

Inscription : 19-09-2023

Messages : 340

Re : Polynôme du second degré avec paramètre

Bonjour,

Si $m=3$, alors $f(x)=2x(5x+14)$.
Sinon $f(0)>0$ et $f(-2)<0$ d'où une racine dans $]-2;0[$.

$f(-10)=71m^2+24m+9>0$ d'où une racine dans $]-10;-2[$.
Il y a donc bien deux racines distinctes.

Cordialement,
Rescassol

PhilT1

Membre

Inscription : 26-11-2024

Messages : 17

Re : Polynôme du second degré avec paramètre

Merci, Rescassol