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Résumé de la discussion (messages les plus récents en premier)
- PhilT1
- 02-12-2025 12:17:33
Merci, Rescassol
- Rescassol
- 02-12-2025 12:09:50
Bonjour,
Si $m=3$, alors $f(x)=2x(5x+14)$.
Sinon $f(0)>0$ et $f(-2)<0$ d'où une racine dans $]-2;0[$.
$f(-10)=71m^2+24m+9>0$ d'où une racine dans $]-10;-2[$.
Il y a donc bien deux racines distinctes.
Cordialement,
Rescassol
- PhilT1
- 02-12-2025 12:01:02
>> Effectivement, le TVI, je n'y pensais dans ce contexte....
Sans vouloir trop entrer dans les détails, que comprends-tu par "calculer m", ? J'ai fait quelques teste en donnant plusieurs valeurs différentes à m, chaque fois j'obtenais une équation à discriminant positif, mais quelques tests ne permettent pas de conclure en général, sauf à mettre en évidence un contre-exemple, ce qui n'est pas le cas ici. T'ai-je bien compris sur ce point ?
En tout cas, merci pour ta réponse.
Philippe
- DeGeer
- 02-12-2025 11:53:48
Bonjour
Tu sais que $f(-2)<0$ et $f(0) \geq 0$.
Tu peux distinguer les cas suivant que $f(0)>0$ ou $f(0)=0$.
Dans le premier cas, tu peux utiliser le théorème des valeurs intermédiaires (je ne sais pas si tu l'as vu) pour prouver qu'il existe une racine, puis tu conclus en disant que cette racine ne peut être double puisque la fonction $f$ change de signe. Dans le deuxième cas, tu peux calculer $m$ et vérifier qu'il y a bien deux racines distinctes.
- PhilT1
- 02-12-2025 11:47:19
>> Roro, merci d'avoir répondu rapidement. Effectivement, c'est le raisonnement qu'il fallait adopter pour conclure, j'en suis maintenant convaincu.
f est bien sûr un polynôme de degré 2, mais c'est son discriminant, dont je voulais étudier le signe, qui est de degré 4 (non bicarré).
Merci de m'avoir permise de conclure.
Philippe
- Roro
- 02-12-2025 11:39:15
Bonjour,
Tes calculs semblent justes.
Ton erreur est peut être celle-ci : si tu développes $f$ alors tu obtiens un polynôme de degré 2, et non pas un polynôme de degré 4.
Ensuite, tu dois savoir qu'un polynôme de degré 2 admet soit 0 racine réelle, soit 1 racine réelle, soit 2 racines réelles distinctes.
Dans les deux premiers cas (et uniquement dans ces cas), le polynôme aura un signe constant.
Ici, tu as montré que le signe n'est pas constant : tu es donc dans le dernier cas : il y a exactement deux racines réelles distinctes.
Roro.
- PhilT1
- 02-12-2025 11:11:46
Bonjour
Ci-dessous le texte d'un problème que je ne parviens pas à conclure :
Soit un réel m et f la fonction trinôme : f(x) = m.(x+2).(mx-3) + (x+1).(x+m²+9)
1/ déterminer les réels f(0) et f(-2) :
je trouve : f(0) = (m-3)² et f(-2) = -(m²+7) ; j'en conclus déjà que : [tex]\forall [/tex] m [tex]\in \mathbb{R} [/tex] , f(0) [tex]\ge[/tex] 0 et f(-2) [tex]\le[/tex] -7
2/ en déduire que : [tex]\forall [/tex] m [tex]\in \mathbb{R} [/tex] l'équation f(x) = 0 a dans [tex] \mathbb{R} [/tex] deux solutions distinctes.
C'est là que je ne parviens pas à faire la déduction à partir des valeurs calculées pour f(0) et f(-2)...
Pour que l'équation ait deux solutions réelles distinctes, il faut que le discriminant du premier membre soit strict. positif. En développant f(x), j'obtiens un polynôme de degré 4 qui n'est pas 'bicarré', et qui ne se factorise pas (ce qui ne me surprend pas puisqu'il est censé être toujours strict. positif pour toute valeur de m... ; j'ai tracé la courbe de la fonction 'discriminant' sur un logiciel, effectivement elle semble être toujours à valeurs positives - sur mon intervalle choisi en tout cas [-50 ; +50] -).
Alors comment à partir de la question faire la déduction demandée à la question 2
Merci par avance pour votre aide.