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Charles0675

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Endomorphismes et nilpotence

Bonjour à tous,
Quelqu un pourrait il m éclairer sur la question 1 svp?[tex] \documentclass{article}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}

\begin{document}

\section*{Exercice 6}

1) Soit \( E \) un \( \mathbb{R} \)-espace vectoriel et \( f \) un endomorphisme nilpotent de \( E \) d’indice \( k \in \mathbb{N}^* \).

Montrer que \( \text{Id}_E - f \) est un automorphisme de \( E \) et préciser \( (\text{Id}_E - f)^{-1} \).

2) Soit \( E = \mathbb{R}_n[X] \) et \( f \in L(E) \) définie par : \( \forall P \in E, f(P) = P - P' \).

Montrer que \( f \) est un automorphisme de \( E \) et préciser \( f^{-1} \).

\end{document}[/tex]

Roro

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Re : Endomorphismes et nilpotence

Bonsoir,

Un indice qui vaut ce qu'il vaut : écris le développement en série entière de $\displaystyle \frac{1}{1-x}$...

Roro.

Dernière modification par Roro (05-02-2025 17:56:19)

bridgslam

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Re : Endomorphismes et nilpotence

Bonsoir,

C'est déjà un endomorphisme.
Que vaut $I -f^n$ dans le cas général, on  peut penser à un produit de deux facteurs... (*)
Adapter aux hypothèses le(s) résultat(s) obtenu(s).

La question 2 est une application directe de la 1.

(*) L'espace vectoriel sans précision supplémentaire n'est pas forcément de dimension finie, il faut trouver deux factorisations, la composition n'étant pas commutative.
Pour l'application au 2/ une seule relation aurait suffit, étant en dim finie.

Dernière modification par bridgslam (06-02-2025 10:31:42)

Michel Coste

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Re : Endomorphismes et nilpotence

Bonjour,
Il faut juste faire attention que le $f$ de la question 2 est le $\mathrm{Id}_E-f$ de la question 1. Il y a parfois des choix de notation pas très heureux.

bridgslam

Membre Expert

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Re : Endomorphismes et nilpotence

Bonjour,

C'est toujours bon à signaler.
Pour tout dire, la partie nilpotente sautant pratiquement aux yeux, je dois reconnaître qu'une telle confusion éventuelle ne m'avait pas effleuré.