Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour,

C'est toujours bon à signaler.
Pour tout dire, la partie nilpotente sautant pratiquement aux yeux, je dois reconnaître qu'une telle confusion éventuelle ne m'avait pas effleuré.

Bonsoir,

C'est déjà un endomorphisme.
Que vaut $I -f^n$ dans le cas général, on  peut penser à un produit de deux facteurs... (*)
Adapter aux hypothèses le(s) résultat(s) obtenu(s).

La question 2 est une application directe de la 1.

(*) L'espace vectoriel sans précision supplémentaire n'est pas forcément de dimension finie, il faut trouver deux factorisations, la composition n'étant pas commutative.
Pour l'application au 2/ une seule relation aurait suffit, étant en dim finie.

Bonjour à tous,
Quelqu un pourrait il m éclairer sur la question 1 svp?[tex] \documentclass{article}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}

\begin{document}

\section*{Exercice 6}

1) Soit \( E \) un \( \mathbb{R} \)-espace vectoriel et \( f \) un endomorphisme nilpotent de \( E \) d’indice \( k \in \mathbb{N}^* \).

Montrer que \( \text{Id}_E - f \) est un automorphisme de \( E \) et préciser \( (\text{Id}_E - f)^{-1} \).

2) Soit \( E = \mathbb{R}_n[X] \) et \( f \in L(E) \) définie par : \( \forall P \in E, f(P) = P - P' \).

Montrer que \( f \) est un automorphisme de \( E \) et préciser \( f^{-1} \).

\end{document}[/tex]