Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Vincent62

Membre

Inscription : 26-05-2022

Messages : 314

Une histoire de continuité

Bonjour,

Il y a quelque chose qui m'échappe dans ce raisonnement :

La fonction [tex]x\to \frac{1}{x}[/tex] est continue sur [tex]]0;+\infty[[/tex], donc [tex]\forall x\in ]0;+\infty[, \forall \epsilon>0, \exists \delta>0, \forall x'\in ]0;+\infty[, |x-x'|<\delta[/tex] implique [tex]|f(x)-f(x')|<\epsilon[/tex].

En particulier, pour [tex]\epsilon=1, \exists \delta>0, \forall x'\in ]0;+\infty[, |x-x'|<\delta[/tex] implique [tex]|f(x)-f(x')|<1[/tex].
En particulier, pour [tex]x'=x+\frac{\delta}{2}[/tex], on obtient [tex]1>|\frac{1}{x}-\frac{1}{x+\frac{\delta}{2}}|=\frac{\delta}{(2x+\delta)x}[/tex].
Ceci étant vrai pour tout [tex]x\in ]0;+\infty[[/tex], alors lorsque [tex]x\to +\infty[/tex], on obtient une contradiction.

Je ne vois pas où est l'erreur...

Merci à vous :)

Glozi

Invité

Re : Une histoire de continuité

Bonjour,
$\forall x, \dots, \exists \delta>0,\dots$
Le $\delta$ en question dépend donc certainement de $x$.
(de plus, même si $\delta$ ne dépendait pas de $x$ je ne vois pas de contradiction lorsque $x\to \infty$, le problème serait lorsque $x\to 0$ et vient de l'absence d'uniforme continuité.)
Bonne journée

Vincent62

Membre

Inscription : 26-05-2022

Messages : 314

Re : Une histoire de continuité

Bonsoir Glozi,

Merci pour ta réponse.
Je comprends bien que, de par l'ordre des quantificateurs, le delta dépend de x.

Par ailleurs, je souhaitais faire effectivement tendre x vers 0.
Cependant, je ne comprends pas pourquoi ce n'est pas possible. Ca fait partie des notions que je n'ai jamais vraiment comprises.

Dans tous les cas, ce raisonnement montre que la fonction n'est pas uniformément continue.

Merci d'avance !

Dernière modification par Vincent62 (06-05-2024 22:43:48)

Glozi

Invité

Re : Une histoire de continuité

Pour $x>0$ et pour $\varepsilon=1$ on trouve $\delta(x)>0$ tel que quelque soit $x'>0$ tel que $|x-x'|<\delta(x)$ alors $|\frac{1}{x}-\frac{1}{x'}|<1$.
Tu choisis de prendre $x'=x+\delta(x)/2$, c'est bien possible et on trouve :
$|\frac{1}{x}-\frac{1}{x+\delta(x)/2}|<1$, soit $$(E)\quad \frac{\delta(x)}{x(2x+\delta(x))}<1.$$
Je ne vois pas la contradiction ? Tu peux faire tendre $x$ vers $0$ ou $+\infty$ mais tu n'as à priori aucune idée du comportement de $\delta(x)$ (à part que $(E)$ reste toujours vraie pour $x>0$.

Exercice : trouver explicitement un $\delta(x)$ qui fonctionne pour $x>0$ et $\varepsilon=1$, tu pourras ensuite remplacer dans $(E)$ et ça devrait résoudre ton incompréhension j'espère.

Vincent62

Membre

Inscription : 26-05-2022

Messages : 314

Re : Une histoire de continuité

Merci beaucoup Glozi !!