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Résumé de la discussion (messages les plus récents en premier)
- Vincent62
- 06-05-2024 23:22:43
Merci beaucoup Glozi !!
- Glozi
- 06-05-2024 22:02:43
Pour $x>0$ et pour $\varepsilon=1$ on trouve $\delta(x)>0$ tel que quelque soit $x'>0$ tel que $|x-x'|<\delta(x)$ alors $|\frac{1}{x}-\frac{1}{x'}|<1$.
Tu choisis de prendre $x'=x+\delta(x)/2$, c'est bien possible et on trouve :
$|\frac{1}{x}-\frac{1}{x+\delta(x)/2}|<1$, soit $$(E)\quad \frac{\delta(x)}{x(2x+\delta(x))}<1.$$
Je ne vois pas la contradiction ? Tu peux faire tendre $x$ vers $0$ ou $+\infty$ mais tu n'as à priori aucune idée du comportement de $\delta(x)$ (à part que $(E)$ reste toujours vraie pour $x>0$.
Exercice : trouver explicitement un $\delta(x)$ qui fonctionne pour $x>0$ et $\varepsilon=1$, tu pourras ensuite remplacer dans $(E)$ et ça devrait résoudre ton incompréhension j'espère.
- Vincent62
- 06-05-2024 21:39:54
Bonsoir Glozi,
Merci pour ta réponse.
Je comprends bien que, de par l'ordre des quantificateurs, le delta dépend de x.
Par ailleurs, je souhaitais faire effectivement tendre x vers 0.
Cependant, je ne comprends pas pourquoi ce n'est pas possible. Ca fait partie des notions que je n'ai jamais vraiment comprises.
Dans tous les cas, ce raisonnement montre que la fonction n'est pas uniformément continue.
Merci d'avance !
- Glozi
- 06-05-2024 18:36:59
Bonjour,
$\forall x, \dots, \exists \delta>0,\dots$
Le $\delta$ en question dépend donc certainement de $x$.
(de plus, même si $\delta$ ne dépendait pas de $x$ je ne vois pas de contradiction lorsque $x\to \infty$, le problème serait lorsque $x\to 0$ et vient de l'absence d'uniforme continuité.)
Bonne journée
- Vincent62
- 06-05-2024 18:22:20
Bonjour,
Il y a quelque chose qui m'échappe dans ce raisonnement :
La fonction [tex]x\to \frac{1}{x}[/tex] est continue sur [tex]]0;+\infty[[/tex], donc [tex]\forall x\in ]0;+\infty[, \forall \epsilon>0, \exists \delta>0, \forall x'\in ]0;+\infty[, |x-x'|<\delta[/tex] implique [tex]|f(x)-f(x')|<\epsilon[/tex].
En particulier, pour [tex]\epsilon=1, \exists \delta>0, \forall x'\in ]0;+\infty[, |x-x'|<\delta[/tex] implique [tex]|f(x)-f(x')|<1[/tex].
En particulier, pour [tex]x'=x+\frac{\delta}{2}[/tex], on obtient [tex]1>|\frac{1}{x}-\frac{1}{x+\frac{\delta}{2}}|=\frac{\delta}{(2x+\delta)x}[/tex].
Ceci étant vrai pour tout [tex]x\in ]0;+\infty[[/tex], alors lorsque [tex]x\to +\infty[/tex], on obtient une contradiction.
Je ne vois pas où est l'erreur...
Merci à vous :)