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dorianp

Invité

Intégrale

Bonsoir,

J'ai une question sur la résolution d'une intégrale à trois dimensions:

Soit A={(x,y,z) ∈ R^2  | (x^2) + (y^2) - z ≤ 0, √(x^2+y^2)  +z ≤ 2}

Calculer: ∫ dxdydz sur l'intervalle A

Pouvez-vous m'indiquer comment résoudre ce genre d'exercice?
Je ne sais pas quelle méthode utiliser pour déterminer les bornes de l'intégrale à partir de A.

Merci d'avance

Glozi

Invité

Re : Intégrale

Bonjour,
Ton intégrale revient à calculer le volume de $A$.
Clairement dans ton ensemble, $z$ ne joue pas le même rôle que $x$ et $y$.

Déjà quelles sont les valeurs de $z$ possible pour qu'il existe point $M=(x,y,z)$ qui soit dans $A$ ?
Ensuite à $z$ fixé à une telle valeur, quelle est la nature géométrique de l'ensemble points $M=(x,y,z)$ de $A$ qui ont comme hauteur $z$ ?
Conclusion?
Bonne soirée

jean23

Invité

Re : Intégrale

Bonjour
On pourrait aussi passer en coordonnées cylindriques
x=r*cos(t)
y=r*sin(t)
z=z
Le domaine devient alors r^2 <= z <= 2 - r

jean23

Invité

Re : Intégrale

et dx dy dz devient r dr dt dz

dorianp

Invité

Re : Intégrale

Très bien merci à vous deux

dorianp

Invité

Re : Intégrale

En passant en coordonnées cylindriques j'ai obtenue les bornes de l'intégrale pour r et pour z :

r^2 < z < 2-r

-2 < r < 1

mais je ne vois pas comment obtenir l'intervalle de t ?

Gui82

Membre

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Re : Intégrale

Bonjour,

En coordonnées cylindriques, t (ou usuellement [tex]\theta[/tex]) vit dans [tex][0,2\pi][/tex].
Par contre, il faut garder à l'esprit que [tex]r>0[/tex]

dorianp

Invité

Re : Intégrale

Tu peux m'expliquer comment tu as obtenue ce résultat stp (pour r et θ)?

merci d'avance pour ton aide

Gui82

Membre

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Re : Intégrale

Tu sais que les coordonnées cylindriques dans [tex]\mathbb{R}^3[/tex] sont :
[tex]x=r\cos\theta[/tex]
[tex]y=r\sin\theta[/tex]
[tex]z=z[/tex]
avec [tex]r>0,\,\theta \in [0,2\pi],\,z \in \mathbb{R}[/tex]

Ici, le problème est à géométrie cylindrique, donc il n'y a pas de contrainte sur [tex]\theta[/tex]. Et comme tu l'as dit, on a [tex]r^2<z<2-r[/tex] et [tex]-2<r<1[/tex], mais [tex]r[/tex] a aussi la contrainte [tex]r>0[/tex] par le changement de variables.

Et si ta question porte sur la nature du changement de variables en lui-même, tu peux imaginer un cylindre d'axe vertical dont le rayon et la hauteur tendent vers l'infini, ce qui remplit l'espace tout entier.