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Zelda

Invité

Analyse limite avec epsilon-delta

Bonjour!!, j'espère que vous allez bien:)

Voiçi l'énoncé de l'exercice:
soit F(0) = [smb]racine[/smb]2 +ln(1+[smb]racine[/smb]2) 

et g(x)=[tex]\frac{e^{xt}+e^{x_{0}t}}{x-x_{0}}[/tex] avec t[smb]appartient[/smb][-1;1]
et x[smb]appartient[/smb][smb]R[/smb]

On me demande de montrer que:
([smb]quelquesoit[/smb][smb]epsilon[/smb]>0)([smb]ilexiste[/smb][smb]delta[/smb]>0):
0<[tex]|x-x_{0}|[/tex]<[smb]delta[/smb]
[smb]implique[/smb] |g(x)-[tex]te^{x_{0}t}[/tex]|<[tex]\frac{epsilon}{F(0)}[/tex]

Zelda

Invité

Re : Analyse limite avec epsilon-delta

Je m'excuse pour les erreurs de frappe

Voiçi l'énoncé de l'exercice:
soit F(0) = racine2 +ln(1+racine2) 

et g(x)=[tex]\frac{e^{xt}-e^{x_{0}t}}{x-x_{0}}[/tex] avec t appartient à [-1;1]
et x appartient à R

On me demande de montrer que:
(quelquesoit epsilon>0)(ilexiste delta>0):
0<[tex]|x-x_{0}|[/tex]<delta
=> |g(x)-[tex]te^{x_{0}t}[/tex]|<[tex]\frac{epsilon}{F(0)}[/tex]

Eust_4che

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Re : Analyse limite avec epsilon-delta

Bonjour,

Qu'attends-tu de nous ? Qu'on fasse l'exercice ? Si tu souhaites qu'on t'aide, dis-nous ou tu bloques. Un exercice de maths fait par un autre n'a aucun intérêt...

Dernière modification par Eust_4che (21-05-2022 20:09:17)

Zelda

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Re : Analyse limite avec epsilon-delta

Je m'excuse,
1ere idée, que j'ai:
On a g(x)=[tex]\frac{1}{x-x_{0}}\int_{x_{0}}^{x}{te^{ut}du}[/tex]
Considérons f(x)= [tex]te^{ut}[/tex]
En se basant sur le thm de la valeur moyenne, il s'agit donc de mq [tex]f(x)<x-x_{0}[/tex] mais ça nous donne rien

2eme idée:
On a [tex]|g(x)-te^{x_{0}t}|<\frac{epsilon}{F(0)}[/tex]<=>[tex]|e^{xt}-e^{x_{0}t}-(x-x_{0})te^{x_{0}t}|<\frac{epsilon}{F(0)}(x-x_{0})[/tex]

Il suffit alors de mq [tex]|e^{xt}-e^{x_{0}t}-(x-x_{0})te^{x_{0}t}|<y|x-x_{0}|^2[/tex] avec y un réel donné,  mais elle ne marche pas

Cordialement.

Eust_4che

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Re : Analyse limite avec epsilon-delta

C'est surtout qu'au-delà de l'exercice recopié, il n'y avait aucune demande.

Je pense qu'il y a beaucoup plus simple. La formule "$\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0$ tel que $| x - x_0| < \delta $ entraine une certaine propriété" devrait de faire penser à une limite, et l'existence d'un quotient $\frac{1}{x - x_0}$ à une limite bien particulière. Si tu trouves à quelle limite je fais référence, le résultat est immédiat (tu as du y songer avec le théorème de la moyenne, je pense). Mais par contre je vois pas l'intérêt de $F(0)$ dans l'exercice.

Dernière modification par Eust_4che (21-05-2022 22:47:45)

Zelda

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Re : Analyse limite avec epsilon-delta

Oui, je sais que c'est la limite du dérivée,
Le problème est de la montrer avec la définition formelle [tex]\epsilon-\delta[/tex] de la limite i.e. exprimer [tex]\epsilon[/tex] en fct de [tex]\delta[/tex] (les idées que j'ai mentionné ont pour but de prouver ceci..)

Dernière modification par Zelda (21-05-2022 23:25:06)

Eust_4che

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Re : Analyse limite avec epsilon-delta

Si c'est la limite est la dérivée, on a bien $\displaystyle \lim \limits_{x \rightarrow x_0}\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = f'(x_0)$, donc $\displaystyle \lim \limits_{x \rightarrow x_0}\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} - f'(x_0) = 0$. Ici, ça veut dire $\displaystyle \lim \limits_{x \rightarrow x_0} | g(x) - t \exp (x_0 t) | = 0$.

Il te suffit d'utiliser la définition de la limite à l'aide des quantificateurs pour montrer l'existence. Attention, montrer l'existence d'un objet mathématique ne signifie pas le construire. Il est dit explicitement "montrer que" dans ce que tu as recopié, non "exprimer $\delta$ en fonction de $\epsilon$".