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#1 16-02-2022 06:29:50
- Junior ste
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Calcul différentiel
Salut
Svp comment montrer que l'ensemble des matrices carrées à coefficients complexes est un espace de Banach.
En effet quelle norme utilise t'on pour montrer cela????
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#3 16-02-2022 10:31:10
- Junior ste
- Membre
- Inscription : 03-11-2021
- Messages : 93
Re : Calcul différentiel
Oui c'est bien vrai.
Mais je cherche comment montrer cela en prenant une suite Cauchy de l'ensemble des matrices carrées à coefficients dans C et montrer que cette suite converge dans cet espace.
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#4 16-02-2022 11:04:29
- Roro
- Membre expert
- Inscription : 07-10-2007
- Messages : 1 801
Re : Calcul différentiel
Re-bonjour,
Je ne vois pas trop ce que peut simplifier le fait de travailler avec les matrices à coefficients complexes. La démonstration de la complétude d'un espace vectoriel de dimension finie découle directement de la propriété qui dit que "compact = fermé et borné" (qui se déduit elle-même de l'équivalence des normes) :
Considère $(u_n)$ une suite de Cauchy dans ton espace $E$. Comme $(u_n)$ est bornée, tu peux trouver $r > 0$ tel que la boule fermée $\overline B(0, r)$ contienne tous les éléments de la suite $(u_n)$. Or, $\overline B(0, r)$ est compacte (puisque fermée et bornée en dimension finie), donc toute suite de $\overline B(0, r)$ admet une valeur d'adhérence. Or, toute suite de Cauchy qui admet une valeur d'adhérence converge. Donc $(u_n)$ converge, et comme $\overline B(0, r)$ est fermée, $(u_n)$ converge dans $\overline B(0, r)$ donc dans $E$.
Roro.
Dernière modification par Roro (16-02-2022 11:04:58)
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