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Résumé de la discussion (messages les plus récents en premier)
- Roro
- 16-02-2022 11:04:29
Re-bonjour,
Je ne vois pas trop ce que peut simplifier le fait de travailler avec les matrices à coefficients complexes. La démonstration de la complétude d'un espace vectoriel de dimension finie découle directement de la propriété qui dit que "compact = fermé et borné" (qui se déduit elle-même de l'équivalence des normes) :
Considère $(u_n)$ une suite de Cauchy dans ton espace $E$. Comme $(u_n)$ est bornée, tu peux trouver $r > 0$ tel que la boule fermée $\overline B(0, r)$ contienne tous les éléments de la suite $(u_n)$. Or, $\overline B(0, r)$ est compacte (puisque fermée et bornée en dimension finie), donc toute suite de $\overline B(0, r)$ admet une valeur d'adhérence. Or, toute suite de Cauchy qui admet une valeur d'adhérence converge. Donc $(u_n)$ converge, et comme $\overline B(0, r)$ est fermée, $(u_n)$ converge dans $\overline B(0, r)$ donc dans $E$.
Roro.
- Junior ste
- 16-02-2022 10:31:10
Oui c'est bien vrai.
Mais je cherche comment montrer cela en prenant une suite Cauchy de l'ensemble des matrices carrées à coefficients dans C et montrer que cette suite converge dans cet espace.
- Roro
- 16-02-2022 07:56:02
Bonjour,
Tout espace vectoriel de dimension finie est un espace de Banach, pour n'importe quelle norme (elles sont équivalentes).
Roro.
- Junior ste
- 16-02-2022 06:29:50
Salut
Svp comment montrer que l'ensemble des matrices carrées à coefficients complexes est un espace de Banach.
En effet quelle norme utilise t'on pour montrer cela????