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ccapucine

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Problème de Cauchy

Bonjour,
on considère le problème de Cauchy suivant
$$
y'=2x \sqrt{y-1}, y(x_0)=y_0
$$
Si $y_0=1$ alors la fonction $f$ n'est pas localement lipschitzienne par rapport à $y$. Du coup, le théorème de Cauchy-Lipschitsz ne donne pas l'unicité. On remarque aussi que $f$ n'est pas décroissante, du coup on ne peut pas utiliser le théorème de Peano.
Si on va calculer les solutions, on trouve deux solutions pour ce problème de Cauchy.
Ma question est comment argumenter le fait qu'on pense à aller chercher s'il y a plus d'une solution ? Et s'il y a d'autres conditions qui donnent l'unicité hormis Lipschitz et décroissante?

Merci d'avance pour votre aide.

Roro

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Re : Problème de Cauchy

Bonsoir ccapucine,

Tu semble être dans un cas ou il y peut y avoir plusieurs solutions au problème de Cauchy... et tu ne peux donc pas espérer trouver un théorème qui te donne l'unicité.

Si tu veux vraiment montrer qu'il y a plusieurs solutions, je ne vois pas d'autre moyen que d'en exhiber deux !

Pense par exemple à $y_1(x) = 1$ et à $y_2(x) = 1 + \displaystyle \frac{x^4}{4}$.

Roro.

ccapucine

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Re : Problème de Cauchy

Bonjour
justement, ma question est: comment on voit que l’on est dans le cas où il n y a pas unicité de la solution? Svp

Roro

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Re : Problème de Cauchy

Bonjour,

justement, ma question est: comment on voit que l’on est dans le cas où il n y a pas unicité de la solution? Svp

Je me répète : à part trouver deux solutions différentes, je ne connais pas de théorème qui assure la non unicité de solution (même si on doit pouvoir écrire quelques critères).

Roro.