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EL ABBAS 01

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DM équation différentielle

BONJOUR JE SUIS Bloqué dans cette système d'équation   
x'=2y
y'=-2x -4x^3
a) Mettre le système précédent sous la forme X'= F(t;X) et vérifier les hypothèses
du théorème de Cauchy-Lipschitz.
ma réponse; X'=AX+B AVEC A= ( 0  2 ) et B=(    0       )
                                          -2   0              4x^3

les hypothèses du théorème de Cauchy-Lipschitz a vérifier que F est c1?

b) Montrer que pour une solution maximale de (S) la quantité x(0)^2 + y(0)^2 + x(0)^4 est constante.
En déduire que cette solution est globale, c'est-a-dire définie pour t ∈ R.
c) Soit, pour une solution maximale de (S), K = x(0)^2 + y(0)^2 + x(0)^4 et soit T(k) la
courbe dans R2 d'équation ( x1)^2 + (y1)^2 + (x1)^4=k
. La courbe T(K )ressemble a une ellipse,
avec deux axes de symétrie x1 = 0 et x2 = 0. Supposons que x(0) = 0 et y(0) > 0.
                  (i) Dans quelle direction varie le point M(t) = (x(t); y(t)) quand il est dans le
              quadrant Q++ : x1 ≥0; x2 ≥ 0 et t augmente?
                (ii) Prouver que l'ensemble des points M(t) pour t ≥ 0 ne peut pas être contenu dans Q++. 
   On raisonnera par l'absurde en prouvant que si c'est faux, alors il existe
              x(∞) = lim+∞ x(t), y(∞)= lim+∞ y(t)
   et en utilisant le lemme ci-dessous :
Lemme : Soit f : R dans R de classe C1. S'il existe un réel non nul L =
lim+∞ f'(t), alors lim+∞ |f(t) | = +∞
j'ai besoin des indications claire svp  merci par avance pour les questions

Fred

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Re : DM équation différentielle

Bonjour,

  Tu es très mal parti. Dans ta réponse à la première question, tu fais comme s'il s'agissait d'une équation différentielle linéaire. Or, ce n'est pas du tout le cas ici. En posant $X=(x,y)$, tu as $F(t,x,y)=(2y,-2x-4x^3)$.

Pour le b), ta quantité ne dépend pas de t..... Je pense que tu veux plutôt montrer que $x(t)^2+y(t)^2+x(t)^4$ est constante. Moi, quand je veux démontrer qu'une fonction est constante, en général, je la dérive....

F.

EL ABBAS 01

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Re : DM équation différentielle

Bonjour
merci pour votre réponse  pour le b j'ai  trouve que la quantité est nulle pour toute t, j'ai pas utilisé le fait que la solution est maximal j'ai pas réussir a montre aussi qu'elle est globale

lekoue

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Re : DM équation différentielle

Bonjour,

a) Partant de la remarque de Fred il faut clairement vérifier que $F$ est $C^1$ car il y a aucune chance que ton $F$ soit localement lipschitzienne sur $\mathbb{R}$ (car faudrait par oublier que la preuve classique du théorème de Cauchy-Lipschitz est faite avec $F$ localement lipschitzienne bien que l'énoncé  suppose $F$ de classe $C^1$).

b) Partant également de la remarque de Fred, après avoir montré que la quantité est constante, penses à utiliser le lemme des bouts (ou lemme de sortie des compacts) pour déduire que la solution est globale.

EL ABBAS 01

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Re : DM équation différentielle

Merci à vous
Lekoue, j'ai calcule differentiel de F fonction propose par fred et j'ai montré que la fonction différentielle est continue ?? Pasque
j'ai pas cette lemme  dans notre cours
donc  j'ai raisonne  par absurde
Soit J=]a,b[ avec a et b finis
Alors lim_(x tend vers b) ||X || = infini

Ce qui contredit le fait que x^2 + y^2 + x^4 est une valeur finie
Car
Mais ||X||^2 <= x^2 + y^2 + x^4????

J'ai besoin à des indications pour i) et ii)

Pour pour i)   j'ai supposé que M(t) est dans
Q++
J'ai calculé  x' et Y' mais je vois pas clairement la direction du M si t augmente
Merci à vous Fred et Lekoue

Dernière modification par EL ABBAS 01 (09-05-2020 13:33:55)

lekoue

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Re : DM équation différentielle

il est difficile de vous lire EL ABBAS O1. vous ne vous connaissez pas en latex?

Cependant je trouve bon pour vous d'aller lire ce document https://perso.ensta-paris.fr/~fjean/Cou … /AO102.pdf  et éventuellement  l'exercice 4.1 de la page 120 qui est corrigé et détaillé.

Dernière modification par lekoue (09-05-2020 14:51:00)

EL ABBAS 01

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Re : DM équation différentielle

Non Dsl  je sais pas comment on utilise Latex

lekoue

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Re : DM équation différentielle

Allez lire la référence que je vous ai mentionné plus haut et revenez avec une plus meilleure rédaction de votre exercice au cas vous aurez besoin d'un regard neuf.

yoshi

Modo Ferox

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Re : DM équation différentielle

Salut,

A propos du code Latex, je vous conseille de lire (on a ce qu'il faut ici) : http://www.bibmath.net/forums/viewtopic.php?id=1943, lien présent en bas à gauche sous la fenêtre de rédaction des messages.
Vous y trouverez de quoi mettre le pied à l'étrier...
Après, vous pourrez toujours chercher ailleurs : je me reporte régulièrement à la page Wikipedia, pour des codages sortant de la routine du forum...
Je ne connais personne, de bonne volonté, ayant échoué à apprendre le code Latex (1/4 h suffit pour  commencer à se débrouiller)...

@+

EL ABBAS 01

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Re : DM équation différentielle

Merci beaucoup lekoue