Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Salut,

Tu raisonnes par l'absurde en supposant qu'il existe [tex]A \in \mathbb{R}[X][/tex], en considérant alors le polynôme [tex]P=(1-X)^n[/tex] avec [tex]n \in \mathbb{N}[/tex] tu as [tex]P(0)=1[/tex] et [tex](P|A) ≤ \frac{M}{n+1}[/tex] avec [tex]M=sup_{t \in [0,1]}(A(t))[/tex] qui tend vers 0 en l'infini. L'application [tex]P \mapsto P(0) [/tex] est une forme linéaire hors il n'existe pas de polynôme [tex]A[/tex] tel que [tex]\forall P \in \mathbb{R}[X], (A|P)=P(0)[/tex]. Ainsi [tex]\mathbb{R}[X][/tex] est de dimension infinie.

Salut,

Pour montrer que l'espace vectoriel des fonctions continues sur [tex][a,b][/tex] est de dimension infinie, il te suffit d'exhiber une famille infinie libre! Je t'en donne une : [tex](x \mapsto x^n)_{n \in \mathbb{N}}[/tex]

Salut,

On peut passer par une somme de Riemann tu as raison

[tex]n \times \sum_{k=1}^n \frac{exp(\frac{-n}{k})}{k^2}\ = \frac{1}{n} \times \sum_{k=1}^n \frac{exp(\frac{-1}{\frac{k}{n}})}{\frac{k^2}{n^2}}[/tex]

En passant à la limite on obtient alors

[tex]\int_0^{1}\,\ \frac{exp(\frac{-1}{x})}{x^2}\,dx = exp(-1)[/tex]

Bonjour,

Super, merci pour tout!

Cordialement.

Bonjour,

Ne serait-ce pas plutôt [tex]\frac{n}{np+1}=\frac{1}{p}+\frac{a}{n}+o(\frac{1}{n})[/tex] ?

Si tel est le cas, je trouve [tex]\sum_{p=1}^{+\infty} \frac{(-1)^p}{p^3}[/tex].

Juste une question comme ça, la notation [tex]\sum_{p≥1} \frac{(-1)^p}{p^3}[/tex] n'est-elle pas réservée pour désigner la série elle-même et non le scalaire (lorsque la série est convergente) ?

Cordialement.

Bonsoir,

Merci de cette aide! Je suppose que ces permutations sont liées à la convergence uniforme mais ayant juste fini ma première année, je n'ai pas encore tous les théorèmes à l'appui.

Est-ce cependant possible d'arriver au même résultat à partir de l'intégration par partie en utilisant le développement en série de [tex]x \mapsto \frac{1}{1+x^n}[/tex] ?

Cordialement.