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#1 02-07-2014 16:44:16
- Legendre
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Limite
Bonjour,
Je cherche à calculer la limite suivante
[tex] \lim_{n \to +\infty} n \times \int_{0}^{1}\,\ln(1+x^n)\,dx[/tex]
J'ai pensé à un développement en série mais sans résultat...
Une indication?
Cordialement.
Dernière modification par yoshi (02-07-2014 18:06:52)
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#3 02-07-2014 18:26:14
- Legendre
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Re : Limite
Bonjour,
J'en ai essayée une et je me retrouve avec
[tex] \int_0^{1}\,\ln(1+x^n)\,dx=ln(2)-n+n \times \int_0^{1}\,\frac{1}{1+x^n}\,dx[/tex]
J'ai alors essayé de développer [tex]x \mapsto \frac{1}{1+x^n}[/tex] en série mais sans résultat.
Une autre question me vient alors, pourquoi un développement limité qu'on intégrerait ne convient pas, doit-on nécessairement passer par un développement en série?
Cordialement.
Dernière modification par Legendre (02-07-2014 18:35:52)
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#4 02-07-2014 21:57:09
- Fred
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Re : Limite
Bonsoir,
Je crois bien que c'est pourtant un développement en série qui te donnera la solution.
Tu écris [tex]\ln(1+x^n)=\sum_{p\geq 1}\frac{(-1)^{p+1} x^{np}}p [/tex]
En permutant la série et l'intégrale (pourquoi peut-on le faire???)
[tex]\int_0^1 \ln(1+x^n)dx=\sum_{p\geq 1}\frac{(-1)^{p+1}}p \int_0^1 x^{np} dx=\sum_{p\geq 1}\frac{(-1)^{p+1}}{p(np+1)}.[/tex]
En permutant la limite et la série (pourquoi peut-on le faire???), la limite recherchée vaut
[tex]\sum_{p\geq 1}\lim_{n\to+\infty}\frac{(-1)^{p+1}n}{(np+1)p}=\sum_{p\geq 1}\frac{(-1)^{p+1}}{p^2}. [/tex]
On peut même exprimer cette valeur en fonction de [tex]\pi[/tex] si on sait que [tex]\sum_{p\geq 1}\frac 1{p^2}=\frac{\pi^2}6. [/tex]
F.
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#5 03-07-2014 00:10:16
- Legendre
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Re : Limite
Bonsoir,
Merci de cette aide! Je suppose que ces permutations sont liées à la convergence uniforme mais ayant juste fini ma première année, je n'ai pas encore tous les théorèmes à l'appui.
Est-ce cependant possible d'arriver au même résultat à partir de l'intégration par partie en utilisant le développement en série de [tex]x \mapsto \frac{1}{1+x^n}[/tex] ?
Cordialement.
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#6 03-07-2014 06:16:20
- Fred
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Re : Limite
C'est possible que cela fonctionne aussi après l'IPP, mais cela a l'air moins facile car tu as déjà une forme indéterminée pour déterminer la limite de l'intégrale, alors quand en plus tu vas multiplier par n après....
F.
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#7 03-07-2014 07:07:38
- Legendre
- Membre
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Re : Limite
Bonjour,
Merci de votre réponse ! On a donc
[tex]\int_0^{1}\,\ln(1+x^n)\,dx = \frac{π^2}{12n}+o(\frac{1}{n})[/tex]
Comment pourrait-on attraper le terme en [tex]\frac{1}{n^2}[/tex] ? En calculant [tex]\lim_{n \to +\infty} n^2 \times (\int_0^{1}\,\ln(1+x^n)\,dx - \frac{π^2}{12n})[/tex] ?
Cordialement.
Dernière modification par Legendre (03-07-2014 07:23:01)
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#9 03-07-2014 09:27:09
- Legendre
- Membre
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Re : Limite
Bonjour,
Ne serait-ce pas plutôt [tex]\frac{n}{np+1}=\frac{1}{p}+\frac{a}{n}+o(\frac{1}{n})[/tex] ?
Si tel est le cas, je trouve [tex]\sum_{p=1}^{+\infty} \frac{(-1)^p}{p^3}[/tex].
Juste une question comme ça, la notation [tex]\sum_{p≥1} \frac{(-1)^p}{p^3}[/tex] n'est-elle pas réservée pour désigner la série elle-même et non le scalaire (lorsque la série est convergente) ?
Cordialement.
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#10 03-07-2014 09:49:40
- Fred
- Administrateur
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Re : Limite
Bonjour,
Ne serait-ce pas plutôt [tex]\frac{n}{np+1}=\frac{1}{p}+\frac{a}{n}+o(\frac{1}{n})[/tex] ?
Si, tu as raison
Juste une question comme ça, la notation [tex]\sum_{p≥1} \frac{(-1)^p}{p^3}[/tex] n'est-elle pas réservée pour désigner la série elle-même et non le scalaire (lorsque la série est convergente) ?
Si on voulait vraiment être très rigoureux, on noterait effectivement [tex]\sum_p u_p[/tex] la série et [tex]\sum_{p=1}^{+\infty}u_p[/tex] la somme de la série lorsqu'elle est convergente. Je ne connais personne qui y fait vraiment attention.
F.
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