Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Legendre

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Intégrale Série

Salut,

J'essaye de montrer l'égalité suivante

[tex]\int_0^{+\infty}\,e^{-x}cos(\sqrt{x})\,dx = \sum_{n≥0} (-1)^n \frac {n!}{(2n)!}[/tex]

J'ai développé en série entière obtenant ainsi

[tex]\int_0^{+\infty}\,e^{-x}cos(\sqrt{x})\,dx = \int_0^{+\infty}\,\sum_{n≥0} \frac{(-x)^n}{n!}\, \sum_{n≥0} \frac{(-x)^n}{(2n)!}dx[/tex]

J'ai essayé de passer par le produit de Cauchy des deux séries mais je n'aboutis à rien... Un indice?

Fred

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Re : Intégrale Série

Salut,

  A ta place, je ne développerai en série entière que [tex]\cos(\sqrt x)[/tex]. Car on sait calculer directement
[tex]\int_0^{+\infty}e^{-x}x^n[/tex] (par des intégrations par parties successives).

Fred.

Legendre

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Re : Intégrale Série

Salut,

Pas bête du tout ! Je vais essayer, merci !