Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Non, je ne suis pas l'auteur de la question, je me demandais s'il n'y avait pas un typo parce que l'énoncé me semblait bizarre (je n'ai jamais vu un énoncé d'exercice non simplifié)

Bonjour,

Tu peux voir quelle est la limite simple de [tex](u_n)_n[/tex], montrer la convergence uniforme, et voir si cette limite est [tex]C^1[/tex] ou pas.

Bonjour,

Oui, même si ça n'a pas beaucoup d'intérêt dans l'étude des fonctions

Bonjour,

Je suppose que tu parles ici du cas n impair. On a alors les propriétés classiques comme [tex]x \mapsto \sqrt[n]{x}[/tex] est croissante sur [tex]\mathbb{R}[/tex] et [tex]\displaystyle (\sqrt[n]{x})^n=x, \, \forall x \in \mathbb{R}[/tex].
Mais on a les mêmes propriétés sur [tex]\mathbb{R}^+[/tex] quelle que soit la parité de n...

Bonjour,

On peut aussi obtenir la majoration [tex]\displaystyle |f(0)| \le \max\limits_{\mathcal{C}(0,|a|)}|f|[/tex] par la formule de Cauchy sur [tex]\mathcal{C}(0,|a|)[/tex], c'est même plus élémentaire.

Bonjour,

Il y a quelque chose qui m'échappe dans l'énoncé, on ne sait pas qui est [tex]a[/tex]. S'agit-il d'un élément arbitraire de [tex]D(0,r)[/tex] ou bien est-il un des zéros de [tex]f[/tex] ?

Sinon, ta majoration est correcte. Pour faire intervenir [tex]f(0)[/tex], on peut dire que [tex]f \in \mathcal{H}(D(0,|a|)) \cap \mathcal{C}(\bar{D}(0,|a|))[/tex] et d'après le principe du maximum, on a [tex]\displaystyle |f(0)| \le \max\limits_{\mathcal{C}(0,|a|)}|f|[/tex]. Comme on a [tex]\displaystyle |f(z)| \le \frac{Mr}{r-|a|} \,\, \forall z \in \mathcal{C}(0,|a|)[/tex], on a [tex]\displaystyle \max\limits_{\mathcal{C}(0,|a|)}|f| \le \frac{Mr}{r-|a|}[/tex]. Par contre, pour le moment je ne vois pas comment obtenir [tex]\displaystyle \frac{M|a|}{r-|a|}[/tex] au lieu de [tex]\displaystyle \frac{Mr}{r-|a|}[/tex] (je ne me suis pour l'instant pas servi du fait que [tex]f[/tex] s'annule dans [tex]D(0,r)[/tex])

Bonjour,

On a à nouveau du très grand Alain Ratomahenina, j'avais entendu parler sur un autre forum d'une discussion où il affirmait que [tex]\sqrt{2}[/tex] était rationnel, malheureusement le topic avait été supprimé... J'espère voir sa démonstration, mais je crains que la marge ne soit trop petite pour la contenir...

Sinon, plus sérieusement, pour démontrer par l'absurde que [tex]\sqrt{2}[/tex] est bien irrationnel, j'aime bien l'argument suivant, simple mais efficace :
En partant du point 3 : [tex]p^2=2q^2[/tex], [tex]2[/tex] apparaît avec un exposant pair dans le terme de gauche et un exposant impair dans le terme de droite, ce qui contredit l'unicité de la décomposition en facteurs premiers.

Bonjour,

En effet, [tex]\mathbb{R}_n[X][/tex] désigne l'ensemble des polynômes sur [tex]\mathbb{R}[/tex] de degré inférieur ou égal à n. [tex]\mathbb{R}[X][/tex] désigne l'ensemble des polynômes sur [tex]\mathbb{R}[/tex] de degré quelconque.

Bonjour,

Tu as déja la réponse en ayant écrit le développement de Laurent de f en 0. Tu as [tex]a_{-5}=1[/tex] et le développement s'arrête là pour les indices négatifs.
Par ailleurs, tu peux aussi déterminer le résidu de f en 0 à partir de ce développement (je ne sais pas si ça t'est demandé par la suite).

Rebonjour,

Ton poisson d'avril me fait penser à une feuille d'exercices sur la fonction Zeta quand j'étais en prépa agreg : on nous demandait de calculer [tex]\displaystyle "\sum_{n=1}^{+\infty}n"[/tex] pour nous suggérer de calculer [tex]\zeta(-1)[/tex] (il y avait bien les guillemets sur la feuille).

Je t'avouerais que je n'ai pas immédiatement vu que c'était une blague, parce qu'il m'est déja arrivé d'argumenter, sans succès, avec des gens convaincus que cette formule est vraie parce qu'ils l'ont vue sur internet (par contre ce n'était pas sur bibmath)

La méthode de Vincent62 consiste à dériver sous l'intégrale. Si tu as une fonction définie par [tex]\displaystyle f(x)=\int g(t,x)\,dt[/tex], sous les bonnes hypothèses (voir le lien qu'il a mis), sa dérivée se calcule comme ceci : [tex]\displaystyle f'(x)=\int \frac{\partial g}{\partial x}(t,x)\,dt[/tex]
En faisant ce calcul, tu trouveras la réponse en faisant une intégration par parties.

Bonjour,

Tu peux calculer l'intégrale pour exprimer f directement, puis calculer la dérivée.
edit : pour calculer l'intégrale, tu peux combiner les 2 exponentielles en une seule