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#1 04-08-2023 15:27:43
- Vincent62
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- Messages : 314
Banach ou pas ?
Bonjour,
Dans un exercice, on pose [tex]E=C^1([0;2018],\mathbb{R})[/tex] et on considère [tex]\|f\|_{\infty}=max_{t\in [0;2018]} |f(t)|[/tex].
La question est de savoir si [tex](E,\|.\|_{\infty})[/tex] est un Banach.
L'indication donnée est la suivante : on considérera la suite de fonction [tex](u_n)_n[/tex] définie par [tex]u_n(x)=\sqrt{x+\frac{1}{2^n}}[/tex] pour tout entier naturel [tex]n[/tex] et pour tout [tex]x\in [0;2018][/tex].
Si l'on donne l'indication, c'est que cette suite est de Cauchy d'éléments de [tex]E[/tex], mais ne converge pas dans [tex]E[/tex], n'est-ce pas ?
Bon, je pars sur cette idée.
Pour tout [tex]n[/tex] et tout [tex]x\in [0;2018][/tex], [tex]u_n\in E[/tex] et on a [tex]\|u_n\|_{\infty}=\sqrt{2018+\frac{1}{2^n}}[/tex] (car pour tout [tex]n[/tex], [tex]u_n[/tex] est continue sur le compact [tex][0;2018][/tex]). Ainsi, [tex]\|u_n\|_{\infty}\to \sqrt{2018}[/tex].
Donc la suite est convergente.
Est-ce que je manque un truc ?
Merci
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#4 04-08-2023 15:54:05
- Vincent62
- Membre
- Inscription : 26-05-2022
- Messages : 314
Re : Banach ou pas ?
Bonjour,
Effectivement, [tex]\lim_{n\to +\infty} u_n(x)=\sqrt{x}[/tex]. Donc [tex](u_n(x))_n[/tex] converge simplement pour tout [tex]x\in [0;2018][/tex], mais sa limite n'est pas un élément de E, car non dérivable en [tex]0[/tex].
Je suis un peu perdu concernant cette convergence. Quand je montre que [tex]\|u_n\|\to \sqrt{2018}[/tex], cela veut bien dire que [tex](u_n)[/tex] converge pour la norme infini ? Alors pourquoi considérer la convergence simple ici ?
De même, pour montrer qu'elle est de Cauchy, il faut montrer qu'elle est de Cauchy pour la norme infini.
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#6 04-08-2023 16:20:07
- Eust_4che
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Re : Banach ou pas ?
Bonjour,
Non. Reprend la définition de la convergence "en norme". Le fait que la suite des normes $(||u_n ||)$ converge vers un réel $\ell\neq 0$ n'implique nullement que la suite $(u_n)$ converge. Par exemple, dans l'espace vectoriel $\mathscr{C}([0, 1], \mathbf{C})$ normé par la norme $||f||_{\infty}$, considère la suite des applications $u_n \colon x \mapsto e^{2\pi i n x}$ $(n \in \mathbf{N})$. Quel que soit $n \geq 0$, on a $|| u_n || = 1$, mais la suite $(u_n)$ ne converge pas.
Pour que la suite $(u_n)$ converge vers une fonction limite $u$ (pour la norme de la convergence uniforme), il faut et il suffit que $||u_n - u||_{\infty} \rightarrow 0$ lorsque $n \rightarrow + \infty$
E.
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