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Vincent62

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Holomorphie

Bonjour,

Je cherche à calculer [tex]\int_c f(z)dz[/tex] où [tex]c[/tex] est le cercle unité et [tex]f : z\to e^z \frac{z}{sin(z)}[/tex] où [tex]z\in \mathbb{C}[/tex].

J'ai montré que [tex]f[/tex] était holomorphe sur [tex]\mathbb{C}[/tex] ([tex]0[/tex] est un point régulier) et que donc [tex]f[/tex] est holomorphe sur un ouvert contenant le lacet [tex]c[/tex]. Ainsi l'intégrale est nulle.

Mais un truc me chiffonne : pour [tex]z=\pi[/tex], on a [tex]\sin(z)=0[/tex], et donc [tex]z=\pi[/tex] serait une singularité isolée de [tex]f[/tex], non ? Du coup, [tex]f[/tex] n'est pas holomorphe sur tout [tex]\mathbb{C}[/tex] ?
Qu'est-ce que je rate ?

Merci pour votre aide.

Dernière modification par Vincent62 (14-05-2023 12:16:34)

Zebulor

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Re : Holomorphie

Bonjour,
est ce qu'on ne pourrait pas prolonger $f$ par continuité en $\pi$ ?  Il me semble alors que ce prolongement par continuité en $\pi$ est lui aussi holomorphe si bien que cette singularité là que tu dis isolée serait artificielle...
Mais comme ça fait un bail que j'ai vu ça en DEUG 2e année, je m'avance avec des pincettes sur ce sujet...

Vincent62

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Re : Holomorphie

Bonjour Zébulor, et merci pour ta réponse.

Je me dis aussi qu'on peut simplement considérer un ouvert étoilé U contenant le cercle unité, et tel que [tex]\pi \notin U[/tex]. Du coup, on a toujours que f est holomorphe sur un ouvert (étoile) contenant le lacet, et donc que l'intégrale est nulle.

Gui82

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Re : Holomorphie

Bonjour,
[tex]f[/tex] admet des pôles simples en [tex]k\pi[/tex] avec [tex]k \in \mathbb{Z}[/tex] et [tex]k \ne 0[/tex] ([tex]f[/tex] se prolonge holomorphiquement en 0).
Du coup, [tex]f[/tex] est holomorphe dans un ouvert contenant le disque unité fermé et donc son intégrale sur le cercle unité est nulle.