Forum de mathématiques - Bibm@th.net
Vous n'êtes pas identifié(e).
- Contributions : Récentes | Sans réponse
Pages : 1
#1 Entraide (supérieur) » distribution » 04-02-2013 22:20:49
- martin
- Réponses : 1
Bonjour,
j'ai l'exercice suivant. Soit [tex](x_n)[/tex] une suite réelle qui tend vers [tex]+\infty.[/tex] On considère l'application [tex]T: \mathcal{D}(\mathbb{R}) \rightarrow \mathbb{C}[/tex] définie par [tex]\langle T , \varphi \rangle = \sum_{n=0}^{+\infty} \varphi(x_n).[/tex]
La question est: prouver que [tex]T[/tex] est une application. est-ce que [tex]T \in \mathcal{D}'(\mathbb{R})?[/tex]
Ma solution est; Pour voir que [tex]T[/tex] est une application, il faut voir si la série converge.
[tex](\lim_{n \rightarrow +\infty} x_n = + \infty) \Leftrightarrow (\forall A > 0, \exists n_0 \in \mathbb{N}, \forall n \in \mathbb{N}: n \geq n_0 \Rightarrow x_n > A)[/tex]
ce qui veut dire qu'à partir d'un certain rang [tex]n_0,[/tex] [tex]x_n[/tex] devient plus grand que n'importe que [tex]A > 0[/tex] et donc, il sort du support de $\varphi$ qui est une fonction test. Donc [tex]\langle T , \varphi \rangle = \sum_{n=0}^{n_0-1} \varphi(x_n)[/tex] qui est finie, donc elle converge. [tex]T[/tex] est donc une application.
Pour répondre à la question: est-ce que [tex]T \in \mathcal{D}(\mathbb{R})?[/tex]
[tex]T[/tex] est linéaire,
pour la continuité de [tex]T.[/tex] Soit [tex]K[/tex] un compact de [tex]\mathbb{R},[/tex] et soit [tex]\varphi \in \mathcal{D}_K(\mathbb{R}).[/tex]
[tex]|\langle T , \varphi \rangle| = |\sum_{n=0}^{+ \infty} \varphi(x_n)| = |\sum_{n=0}^{n_0-1} \varphi(x_n)| \leq (n_0-1) \sup_{x \in K} \varphi(x) \leq C P_{K,0}.[/tex]
On conclut que [tex]T \in \mathcal{D}'(\mathbb{R}).[/tex]
Mais j'ai trouvé une autre version sur la continuité, qui m'intrigue. La voici: soit $K$ un compact et soit [tex]\varphi \in \mathcal{D}_{K}(\mathbb{R}).[/tex]
[tex]|\langle T , \varphi \rangle| = |\langle \sum_{n=0}^{+\infty} \varphi(x_n)| \geq \inf_{x \in K} \varphi(x) \rightarrow + \infty[/tex]
donc [tex]T[/tex] n'est pas continue, ce qui veut dire que [tex]T[/tex] n'est pas une distribution sur [tex]\mathbb{R}.[/tex]
Qu'en pensez-vous?
Merci.
#2 Re : Entraide (supérieur) » exo » 29-01-2013 22:40:31
Comment appliquer Fubini à la seconde intégrale svp? Merci par avance.
#3 Re : Entraide (supérieur) » Dirac » 29-01-2013 20:23:07
#4 Entraide (supérieur) » exo » 29-01-2013 20:21:16
- martin
- Réponses : 3
Bonjour, j'ai un exercice qui m’embête un peu.
On pose [tex]U = \{(x,y) \in \R^2: y > |x|\}$ et $F(x,y) = 1_{U}(x,y).[/tex]
La question est: calculer dans [tex]\mathcal{D}'(\R^2), \dfrac{\partial^2 F}{\partial x^2} - \dfrac{\partial^2 F}{\partial y^2}.[/tex]
Donc déjà, [tex]F \in L^1_{loc}(\R)[/tex] elle définie donc une distribution [tex]T.[/tex] Soit [tex]\varphi \in \mathcal{D}(\R^2).[/tex] On a:
[tex]\langle T , \varphi \rangle = \langle \dfrac{\partial^2 F}{\partial x^2} - \dfrac{\partial^2 F}{\partial y^2} , \varphi \rangle = \langle F , \dfrac{\partial^2 \varphi}{\partial x^2} - \dfrac{\partial^2 \varphi}{\partial y^2} \rangle = \displaystyle\int_0^{+\infty} \displaystyle\int_{-y}^y [\dfrac{\partial^2 \varphi}{\partial x^2} - \dfrac{\partial^2 \varphi}{\partial y^2}] dx dy.[/tex]
[tex]= \displaystyle\int_0^{+ \infty} \displaystyle\int_{-y}^y \dfrac{\partial^2 \varphi}{\partial x^2} dx dy - \displaystyle\int_0^{+\infty} \displaystyle\int_{-y}^y \dfrac{\partial^2 \varphi}{\partial y^2} dx dy.[/tex]
On a [tex]\displaystyle\int_0^{+\infty} \displaystyle\int_{-y}^y \dfrac{\partial^2 \varphi}{\partial x^2} dx dy = \displaystyle\int_0^{+\infty} [\dfrac{\partial \varphi}{\partial x} (y,y) - \dfrac{\partial \varphi}{\partial x} (y,-y)] dy[/tex]
et on a: [tex]\displaystyle\int_0^{+\infty} \displaystyle\int_{-y}^y \dfrac{\partial^2 \varphi}{\partial y^2} dx dy = - \displaystyle \int_{-y}^y \dfrac{\partial \varphi} {\partial y} (x,0) dx.[/tex]
Mais je n'arrive pas à trouver [tex]T[/tex] avec tout ca.
Merci d'avance pour votre aide.
#5 Entraide (supérieur) » Dirac » 29-01-2013 18:34:57
- martin
- Réponses : 2
Bonjour,
j'ai une question; [tex]\langle T_1 , \varphi \rangle = \sum_{k=1}^{+ \infty} \varphi^{k}(0)[/tex] n'est pas une distribution, et [tex]\langle T_2 , \varphi \rangle = \sum_{k=0}^{+ \infty} \varphi^{k} (k)[/tex] est une distribution.
Pourtant [tex]T_1[/tex] et [tex]T_2[/tex] sont des séries de dérivée de Dirac l'une au point 0, et l'autre au point [tex]k.[/tex] [tex]T_1 = \sum_{k=1}^{+ \infty} \delta^k_0[/tex] et [tex]T_2 = \sum_{k=0}^{+ \infty} \delta^{k}_k.[/tex]
Pourquoi est-ce qu'une série de dérivée de Dirac en 0 n'est pas une distribution, mais la série de dérivées de Dirac en un point [tex]k[/tex] est une distribution?
Merci par avance.
#6 Re : Entraide (supérieur) » exo » 29-01-2013 18:32:02
C'est ok. Merci.
#7 Re : Entraide (supérieur) » exo » 29-01-2013 12:21:40
Pourquoi est-il important que le support tende vers 0, et que la suite soit majorée par M?
#8 Re : Entraide (supérieur) » exo » 29-01-2013 11:19:27
Non. l'hypothèse dit que il existe [tex]f \in L^1_{loc}[/tex] telle que [tex] \forall n \in \mathbb{N}, \langle \delta , f_n \rangle = \displaystyle\int_{\mathbb{R}} f(x) f_n(x) dx = \displaystyle\int_{|x| \leq 1/n} f(x) f_n(x) dx[/tex]
et pour montrer la contradiction, on utilise le fait que [tex] \forall n \in \mathbb{N}; \dfrac{1}{e} = \langle \delta , f_n \rangle \leq \dfrac{1}{e} \displaystyle\int_{|x| \leq 1/n} |f(x)| dx[/tex]
Donc je ne comprend vraiment pas comment utiliser la majoration de $|f_n|$ qui, on la connait est [tex] |f_n(x)| \leq f_n(0) \leq \dfrac{1}{e}[/tex]
2- sinon, pour la contradiction, pourquoi est-ce que [tex]f_n[/tex] doit avoir un support qui tend vers 0?
Merci d'avance.
#9 Re : Entraide (supérieur) » exo » 29-01-2013 11:02:21
Mais dans l'hypothèse, la seconde intégrale est [tex] \displaystyle\int_{[x| \leq \dfrac{1}{n}} |f(x)| dx[/tex] avec un [tex]|f|[/tex] pas un [tex]f_n[/tex].
s'il vous plait, pouvez vous me montrer comment?
et aussi, pourquoi avoir fait l'hypothèse avec ce f_n? ils auraient pu juste prendre une fonction test quelconque pour arriver à cette conclusion.
Merci d'avance.
#10 Re : Entraide (supérieur) » exo » 29-01-2013 10:16:51
Pourquoi majorer [tex]|f_n(x)|[/tex] pourquoi pas [tex]|f|?[/tex]
ce qui se passe, c'est qu'on obtient que [tex]\dfrac{1}{e} \leq 0[/tex] ce qui est une contradiction. Mais c'est quoi la moralité de cet exercice? pourquoi faire intérvenir f_n et f?
Merci.
#11 Entraide (supérieur) » exo » 28-01-2013 22:49:59
- martin
- Réponses : 9
Bonjour,
On considère la suite [tex](f_n)[/tex] sur [tex]\mathbb{R}[/tex] donnée par
[tex]
f_n(x)
=
\begin{cases}
\ e^{- \tfrac{1}{1 - n^2 |x|^2}} &\text{si } |x| < \frac{1}{n},\\
\ 0 &\text{si } |x| \geq \frac{1}{n}
\end{cases}
[/tex]
On sait que [tex] f_n \in \mathcal{D}(\mathbb{R})[/tex] et que [tex] |f_n(x)| \leq f_n(0) \leq \dfrac{1}{e}[/tex].
On suppose qu'il existe [tex] f \in L^1_{loc}(\mathbb{R})[/tex] telle que [tex] \forall n \in \mathbb{N} \langle \delta,f_n\rangle = \displaystyle\int_{\mathbb{R}} f(x) f_n(x) dx = \displaystyle\int_{|x| \leq \dfrac{1}{n}} f(x) f_n(x) dx[/tex]
La question est: montrer en utilisant l'hypothèse que [tex] \forall n \in \mathbb{N}, \dfrac{1}{e}= \langle \delta , f_n \rangle \leq \dfrac{1}{e} \displaystyle\int_{|x| \leq \dfrac{1}{n}} |f(x)| dx[/tex]
qu'il y'a une contradiction.
Je ne trouve pas comment répondre à cette question. Merci de m'aider.
#12 Re : Entraide (supérieur) » équation-distribution » 28-01-2013 18:56:03
Ouiii c'est de ca dont je parle. D'où vient l'écriture [tex] \chi(x) = \varphi(x) - \varphi(0) \psi(x) [/tex]?
Merci d'avance.
#13 Re : Entraide (supérieur) » équation-distribution » 28-01-2013 18:20:14
En fait ma question précise est: les solutions de l'équation [tex]x T = 0[/tex] sont de la forme [tex]c \delta.[/tex] Mais comment le prouver?
Si on part du fait que [tex]x T = 0 \Leftrightarrow \langle T , x \varphi \rangle= 0[/tex] pour tout [tex]\varphi \in \mathcal{D}(\R),[/tex] il en résulte que [tex]T[/tex] est nulle sur toute fonction [tex]\chi[/tex] de la forme [tex]\chi(x)= x \varphi(x)[/tex] avec [tex]\varphi \in \mathcal{D}(\R).[/tex] Mais, ces fonctions [tex]\chi[/tex] ne remplissent pas tout [tex]\mathcal{D};[/tex] après, comment on fait? et comment on peut écrire toute fonction test en fonction de [tex]\chi?[/tex]
Merci d'avance.
#14 Re : Entraide (supérieur) » équation-distribution » 28-01-2013 15:43:08
Alors dérnières questions svp:
1- pourquoi ce choix pour $\varphi_0?$ on choisit en fonction de quoi?
2- pour trouver la solution de [tex](x T)= 0[/tex] et je ne sais pas comment montrer qu'elle sont de la forme [tex]c_2 \delta.[/tex] en partant du fait que [tex]\langle (xT), \varphi \rangle = \langle T , x \varphi \rangle[/tex]
Mais ces fonctions tests ne couvrent pas tout [tex]\mathcal{D}.[/tex] Après, comment on fait pour couvrir] tout [tex]\mathcal{D}?[/tex]
3- je cherche une méthode à suivre pour pouvoir couvrir tout [tex]\mathcal{D}[/tex].
Merci d'avance.
#15 Re : Entraide (supérieur) » équation-distribution » 28-01-2013 15:31:13
pour trouver la solution, il faut savoir calculer les solutions de l'équation [tex](x T)= 0[/tex] et je ne sais pas comment montrer qu'elle sont de la forme [tex]c_2 \delta.[/tex] en partant du fait que [tex]\langle (xT), \varphi \rangle = \langle T , x \varphi' \rangle[/tex]
Mais ces fonctions tests ne couvrent pas tout [tex]\mathcal{D}.[/tex] Après, comment on fait pour couvrir] tout [tex]\mathcal{D}?[/tex] C'est ca que je cherche depuis des jours
Merci d'avance.
#16 Re : Entraide (supérieur) » équation-distribution » 28-01-2013 11:47:37
Je veux dire que pourquoi la primitive [tex]\varphi'[/tex] d' une fonction test [tex]\varphi \in \mathcal{D}(\R)[/tex] est elle aussi une fonction test que si [tex] \displaystyle\int_{R} \varphi = 0?[/tex]
Merci d'avance.
#17 Re : Entraide (supérieur) » équation-distribution » 28-01-2013 11:09:43
[tex]\langle T , \varphi' \rangle = 0[/tex] pour tout [tex] \varphi \in \mathcal{D}(\R).[/tex]
donc [tex]T[/tex] s'annulle appliquée à des fonctions testes qui sont la dérivée d'une fonction test. On note ces fonctions test [tex]\varphi_0.[/tex]
Pourquoi ces fonctions test sont caractérisée par [tex] \displaystyle\int_{\R} \varphi '(x) dx = 0 [/tex]?
et comment écrire une décomposition de [tex]\mathcal{D}[/tex] en utilisant [tex]\varphi_0?[/tex]
#18 Entraide (supérieur) » équation-distribution » 28-01-2013 09:35:35
- martin
- Réponses : 12
Bonjour,
depuis des jours je cherche comment procéder pour résoudre l'équation [tex] x T' + T = 0[/tex] dans [tex] \mathcal{D}'(\R).[/tex]
merci de m'aider.
Pages : 1