Forum de mathématiques - Bibm@th.net

martin

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exo

Bonjour,
On considère la suite [tex](f_n)[/tex] sur [tex]\mathbb{R}[/tex] donnée par
[tex]
f_n(x)
=
\begin{cases}
\ e^{- \tfrac{1}{1 - n^2 |x|^2}} &\text{si } |x| < \frac{1}{n},\\
\ 0 &\text{si } |x| \geq \frac{1}{n}
\end{cases}
[/tex]
On sait que [tex] f_n \in \mathcal{D}(\mathbb{R})[/tex] et que [tex] |f_n(x)| \leq f_n(0) \leq \dfrac{1}{e}[/tex].
On suppose qu'il existe [tex] f \in L^1_{loc}(\mathbb{R})[/tex] telle que [tex] \forall n \in \mathbb{N} \langle \delta,f_n\rangle = \displaystyle\int_{\mathbb{R}} f(x) f_n(x) dx = \displaystyle\int_{|x| \leq \dfrac{1}{n}} f(x) f_n(x) dx[/tex]
La question est: montrer en utilisant l'hypothèse que [tex] \forall n \in \mathbb{N}, \dfrac{1}{e}= \langle \delta , f_n \rangle \leq \dfrac{1}{e} \displaystyle\int_{|x| \leq \dfrac{1}{n}} |f(x)| dx[/tex]
qu'il y'a une contradiction.
Je ne trouve pas comment répondre à cette question. Merci de m'aider.

Dernière modification par yoshi (29-01-2013 07:12:40)

Fred

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Re : exo

Salut,

* L'inégalité, il suffit de majorer [tex] |f_n(x)| [/tex]...
* La contradiction : que se passe-t-il dans le membre de droite de l'inégalité si [tex]n\to+\infty[/tex]?

F.

martin

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Re : exo

Pourquoi majorer [tex]|f_n(x)|[/tex] pourquoi pas [tex]|f|?[/tex]

ce qui se passe, c'est qu'on obtient que [tex]\dfrac{1}{e} \leq 0[/tex] ce qui est une contradiction. Mais c'est quoi la moralité de cet exercice? pourquoi faire intérvenir f_n et f?
Merci.

Fred

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Re : exo

Pourquoi majorer [tex]|f_n(x)|[/tex] pourquoi pas [tex]|f|?[/tex]

Par ce que c'est ce qui permet d'arriver au résultat demandé!!!

ce qui se passe, c'est qu'on obtient que [tex]\dfrac{1}{e} \leq 0[/tex] ce qui est une contradiction. Mais c'est quoi la moralité de cet exercice? pourquoi faire intérvenir f_n et f?
Merci.

On te fait démontrer que la masse de Dirac n'est pas une distribution associée à une fonction localement intégrable (en particulier, qu'il y a des distributions
qui ne sont pas issues de fonctions).

F.

martin

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Re : exo

Mais dans l'hypothèse, la seconde intégrale est [tex] \displaystyle\int_{[x| \leq \dfrac{1}{n}} |f(x)| dx[/tex] avec un [tex]|f|[/tex] pas un [tex]f_n[/tex].
s'il vous plait, pouvez vous me montrer comment?

et aussi, pourquoi avoir fait l'hypothèse avec ce f_n? ils auraient pu juste prendre une fonction test quelconque pour arriver à cette conclusion.
Merci d'avance.

Fred

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Re : exo

Mais dans l'hypothèse, la seconde intégrale est [tex] \displaystyle\int_{[x| \les \dfrac{1}{n}} |f(x)| dx[/tex] avec un [tex]|f|[/tex] pas un [tex]f_n[/tex].
s'il vous plait, pouvez vous me montrer comment?

Donc si tu veux majorer [tex]\int f(x)f_n(x)dx[/tex] par [tex]\int |f(x)| dx[/tex], c'est bien la fonction [tex]f_n[/tex] qu'il faut majorer pour la faire disparaitre, non???

et aussi, pourquoi avoir fait l'hypothèse avec ce f_n? ils auraient pu juste prendre une fonction test quelconque pour arriver à cette conclusion.
Merci d'avance.

Comment serais-tu arriver à une contradiction avec une fonction quelconque?????
Il était important que le support tende vers 0, et que [tex]|f_n|[/tex] soit majoré par une constante indépendante de [tex]M[/tex].

F.

martin

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Re : exo

Non. l'hypothèse dit que il existe [tex]f \in L^1_{loc}[/tex] telle que [tex]  \forall n \in \mathbb{N}, \langle \delta , f_n \rangle = \displaystyle\int_{\mathbb{R}} f(x) f_n(x) dx = \displaystyle\int_{|x| \leq 1/n} f(x) f_n(x) dx[/tex]
et pour montrer la contradiction, on utilise le fait que [tex] \forall n \in \mathbb{N}; \dfrac{1}{e} = \langle \delta , f_n \rangle \leq \dfrac{1}{e} \displaystyle\int_{|x| \leq 1/n} |f(x)| dx[/tex]
Donc je ne comprend vraiment pas comment utiliser la majoration de $|f_n|$ qui, on la connait est [tex] |f_n(x)| \leq f_n(0) \leq \dfrac{1}{e}[/tex]

2- sinon, pour la contradiction, pourquoi est-ce que [tex]f_n[/tex] doit avoir un support qui tend vers 0?
Merci d'avance.

Dernière modification par yoshi (29-01-2013 11:33:09)

martin

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Re : exo

Pourquoi est-il important que le support tende vers 0,  et que la suite soit majorée par M?

Fred

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Re : exo

Non. l'hypothèse dit que il existe [tex]f \in L^1_{loc}[/tex] telle que [tex]  \forall n \in \mathbb{N}, \langle \delta , f_n \rangle = \displaystyle\int_{\mathbb{R}} f(x) f_n(x) dx = \displaystyle\int_{|x| \leq 1/n} f(x) f_n(x) dx[/tex]
et pour montrer la contradiction, on utilise le fait que [tex] \forall n \in \mathbb{N}; \dfrac{1}{e} = \langle \delta , f_n \rangle \leq \dfrac{1}{e} \displaystyle\int_{|x| \leq 1/n} |f(x)| dx[/tex]
Donc je ne comprend vraiment pas comment utiliser la majoration de $|f_n|$ qui, on la connait est [tex] |f_n(x)| \leq f_n(0) \leq \dfrac{1}{e}[/tex]

Je me répète, comment passes-tu de
[tex]  \forall n \in \mathbb{N}, \langle \delta , f_n \rangle = \displaystyle\int_{\mathbb{R}} f(x) f_n(x) dx = \displaystyle\int_{|x| \leq 1/n} f(x) f_n(x) dx[/tex]
à
[tex]  \langle \delta , f_n \rangle \leq \dfrac{1}{e} \displaystyle\int_{|x| \leq 1/n} |f(x)| dx[/tex]

sans utiliser cette hypothèse?

2- sinon, pour la contradiction, pourquoi est-ce que [tex]f_n[/tex] doit avoir un support qui tend vers 0?
Merci d'avance.

D'où vient le 1/n de la majoration?

F.

martin

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Re : exo

C'est ok. Merci.