Forum de mathématiques - Bibm@th.net

martin

Membre

Inscription : 22-01-2013

Messages : 18

exo

Bonjour, j'ai un exercice qui m’embête un peu.
On pose [tex]U = \{(x,y) \in \R^2: y > |x|\}$ et $F(x,y) = 1_{U}(x,y).[/tex]
La question est: calculer dans [tex]\mathcal{D}'(\R^2), \dfrac{\partial^2 F}{\partial x^2} - \dfrac{\partial^2 F}{\partial y^2}.[/tex]

Donc déjà, [tex]F \in L^1_{loc}(\R)[/tex] elle définie donc une distribution [tex]T.[/tex] Soit [tex]\varphi \in \mathcal{D}(\R^2).[/tex] On a:
[tex]\langle T , \varphi \rangle = \langle \dfrac{\partial^2 F}{\partial x^2} - \dfrac{\partial^2 F}{\partial y^2} , \varphi \rangle = \langle F , \dfrac{\partial^2 \varphi}{\partial x^2} - \dfrac{\partial^2 \varphi}{\partial y^2} \rangle = \displaystyle\int_0^{+\infty} \displaystyle\int_{-y}^y [\dfrac{\partial^2 \varphi}{\partial x^2} - \dfrac{\partial^2 \varphi}{\partial y^2}] dx dy.[/tex]

[tex]= \displaystyle\int_0^{+ \infty} \displaystyle\int_{-y}^y \dfrac{\partial^2 \varphi}{\partial x^2} dx dy  - \displaystyle\int_0^{+\infty} \displaystyle\int_{-y}^y \dfrac{\partial^2 \varphi}{\partial y^2} dx dy.[/tex]

On a [tex]\displaystyle\int_0^{+\infty} \displaystyle\int_{-y}^y \dfrac{\partial^2 \varphi}{\partial x^2} dx dy = \displaystyle\int_0^{+\infty} [\dfrac{\partial \varphi}{\partial x} (y,y) - \dfrac{\partial \varphi}{\partial x} (y,-y)] dy[/tex]

et on a: [tex]\displaystyle\int_0^{+\infty} \displaystyle\int_{-y}^y \dfrac{\partial^2 \varphi}{\partial y^2} dx dy = - \displaystyle \int_{-y}^y \dfrac{\partial \varphi} {\partial y} (x,0) dx.[/tex]
Mais je n'arrive pas à trouver [tex]T[/tex] avec tout ca.
Merci d'avance pour votre aide.

Dernière modification par martin (29-01-2013 20:24:41)

martin

Membre

Inscription : 22-01-2013

Messages : 18

Re : exo

Comment appliquer Fubini à la seconde intégrale svp? Merci par avance.

Roro

Membre expert

Inscription : 07-10-2007

Messages : 1 801

Re : exo

Bonjour martin,

Peut être serait-il judicieux de faire un changement de variable dans ton intégrale (du style u=x+y et v=x-y).

Roro.

yoshi

Modo Ferox

Inscription : 20-11-2005

Messages : 17 401

Re : exo

Bonjour,

@martin
A 3 reprises, j'ai déjà corrigé tes testes : il n'y aura pas une 4e..
Si tu te relis, tu vois \R en rouge : donc, erreur !
C'est parce qu'il faut écrire \mathbb{R} --> [tex]\mathbb{R}[/tex]  et non \R --> [tex]\R[/tex]

J'en profite pour te demander de choisir un titre de message un peu plus précis que "exo" (cf Règles de BibM@th) dans ton intérêt (plus facilement interprétable) et pour le lecteur qui saura de suite s'il a une chance que le la discussion traite de ce qui l'intéresse...
Merci d'avance.

@+