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#1 Re : Entraide (supérieur) » Décompositon de Gauss - Formes quadratiques - » 17-05-2012 15:29:25
J'ai même trouvé un exemple ou les deux décompositions présentent des formes linéaires indépendantes :
[tex]q\left(x\right)={{x}^{2}}_{1}+\left(1+a\right){{x}^{2}}_{2}+\left(1+a+{a}^{2}\right){{x}^{2}}_{3}+2{x}_{1}{x}_{2}-2a{x}_{2}{x}_{3}[/tex]
1ère décomposition qui suit la démonstration du théorème :
[tex]q\left(x\right)={\left({x}_{1}+{x}_{2}\right)}^{2}+\left(1+a+{a}^{2}\right){\left({x}_{3}-\frac{a{x}_{2}}{1+a+{a}^{2}}\right)}^{2}+a{{x}^{2}}_{2}\left(\frac{1+{a}^{2}}{1+a+{a}^{2}}\right)[/tex]
2ème décomposition : [tex]q\left(x\right)={\left({x}_{1}+{x}_{2}\right)}^{2}+a{\left({x}_{2}-{x}_{3}\right)}^{2}+\left(1+{a}^{2}\right){{x}^{2}}_{3}[/tex]
Pour une forme quadratique il y aurait non unicité de la matrice diagonale à la différence des endomorphisme ?
#2 Entraide (supérieur) » Décompositon de Gauss - Formes quadratiques - » 17-05-2012 15:08:17
- Niryub
- Réponses : 2
Bonjour,
J'ai un petit problème avec la décomposition de Gauss pour les formes quadratiques. En effet, il existe plusieurs décomposition de Gauss pour une même forme quadratique. Dès lors, comment s'assurer que l'on ait LA décomposition de Gauss qui fait apparaître les valeurs propres devant les formes linéaires au carré. Le théorème, nous dit qu'il faut que les formes linéaires soient indépendantes, existe-t-il une technique générale pour assurer leurs indépendance ?
#3 Re : Entraide (supérieur) » algebre , » 16-05-2012 18:18:15
On pourrait aussi suggérer une approche avec le polynôme annulateur, [tex]P\left(X\right)={X}^{i}[/tex] annule l'endomorphisme f. On remarque aussi simplement que [tex]Q\left(X\right)={X}^{i-1}[/tex] n'annule pas f.
P est donc le polynôme minimal de f . Par ailleurs le polynôme caractéristique est d'après Cayley Hamilton annulateur de f donc il est multiple du polynôme minimal et par conséquent...
#4 Re : Entraide (supérieur) » Problème sur la décomposition en élément simple » 13-05-2012 20:24:15
Merci encore
#5 Re : Entraide (supérieur) » Problème sur la décomposition en élément simple » 13-05-2012 20:08:21
Ah je vois, il s'agit de calculer la partie entière de la fraction rationnelle. Pourtant dans l'énoncé ( en ma possession, méthode X algèbre), les hypothèse du théorème ne précise pas que le degré du numérateur doit être inférieur à celui du dénominateur. Il suffit que la fraction rationnelle soit irréductible. Si j'ai bien compris, il faut donc abaisser le degré du numérateur (N) et trouver une combinaison au numérateur tel que N = N' + N". Avec N' divisible par D (le dénominateur) et N" et D premiers entres eux ?Il faudrait alors faire la division euclidienne de N par P et choisir le reste pour N" et le quotient pour N' ? Je suis pas trop au point sur la décomposition en éléments simple, puisqu'on a pas encore eu de cours théorique dessus...
#6 Re : Entraide (supérieur) » Problème sur la décomposition en élément simple » 13-05-2012 18:43:10
Pas besoin de développer les calculs pour voir que je ne ferais jamais apparaître du [tex]{x}^{2}[/tex] au numérateur
#7 Re : Entraide (supérieur) » Problème sur la décomposition en élément simple » 13-05-2012 18:38:06
Pardon j'avais pas vu le convertisseur de langage (génial outil soit dit en passant)
je le refais, voilà la fonction dont on doit faire un DSE0 : [tex]\frac{{x}^{2}-1}{{x}^{2}-2\cos \left(t\right)z+1}[/tex]
[tex]\frac{{x}^{2}-1}{{x}^{2}-2\cos \left(t\right)z+1}[/tex] [tex]\equiv \frac{a}{\left(x-\exp \left(it\right)\right)}\,+\,\frac{\bar{a}}{\left(x-\exp \left(-it\right)\right)}[/tex]
Je procède à ma décomposition en isolant a
[tex]\frac{{x}^{2}-1}{\left(x-\exp \left(-it\right)\right)}\,\equiv \,a\,+\,\frac{\bar{a}\left(x-\exp \left(it\right)\right)}{\left(x-\exp \left(-it\right)\right)}[/tex]
D'ou en x= [tex]\equiv \exp \left(it\right)[/tex]
Il vient que a [tex]\equiv -\exp \left(it\right)[/tex]
Donc [tex]\bar{a}\equiv \,-\exp \left(-it\right)[/tex]
(Le triple égal signifiant égale)
#8 Entraide (supérieur) » Problème sur la décomposition en élément simple » 13-05-2012 16:09:19
- Niryub
- Réponses : 8
Bonjour,
J'ai un problème avec le DSE d'une fonction : f(x)= (x^2-1)/(x^2*cost*z+1)
Je décompose en éléments simples : le dénominateur se décompose en : (x-exp(it))(x-exp(-it))
D'après le thm fondamental de la décomposition en élément simple il existe a complexe tq :
f(x)= a /(x-exp(it)) + a barre/(x-exp(-it))
En isolant de la sorte : a barre + a*(x-exp(it))/(x-exp(-it)= f(x)*(x-exp(it))
Puis en faisant x=exp(it), il vient que a=-exp(it) et a barre= -exp(-it)
Mais quand je vérifie ma décomposition en élément simple pas moyen de faire apparaître ce x^2.
En tâtonnant, je remarque que si je fais f(x)= 1 + a/x-exp(it) + a barre / (x-exp(-it))
Je tombe sur la bonne fonction rationnel. Mais pourquoi ?
Quelle erreur ai-je fais dans le théorème fondamental de la décomposition en élément simple ? J'ai beau regarder mon numérateur et dénominateur sont bien premiers entres eux et j'ai bien un dénominateur scindé à zéros simple ..
Merci
#9 Re : Entraide (supérieur) » Série entière exo » 12-05-2012 16:29:27
Ahhhhh, j'ai confondu mes ensembles d'arrivé et de départ de mon changement de variable ...
Un grand merci :-)
#10 Re : Entraide (supérieur) » Série entière exo » 12-05-2012 16:24:21
Ci dessous le lien de l'exercice (numéro 3) http://www.mi.parisdescartes.fr/~lounes … ion2_e.pdf
#11 Entraide (supérieur) » Série entière exo » 12-05-2012 15:33:13
- Niryub
- Réponses : 3
Bonjour,
Je suis étudiant en L2 maths et rencontre un petit problème sur l'exo portant sur les séries entières de cet examenhttp://www.mi.parisdescartes.fr/~lounes/MLM412/Archive%20examens/Ana4%2009-10%20session2_e.pdf.
En effet, à la question 3 on nous demande un calcul de Sigam un(x). Ma première idée est de faire le changement de variable u =x*e-x et remplacer dans la question 2. Or à la question 4 qui utilise le résultat précédent on intégre sur R+, j'en déduis qu'il faut calculer Sigma un(x) sur R+. D'après la première méthode je n'aurais qu'un résultat sur -e,e(-1).
La deuxième méthode consiste à utiliser le théorème sur la dérivation des séries appliqué à la série de fonction Sigma (x*e-x)^n. En la dérivant on fait apparaître les un(x) reste à prouver que les u'n(x) convergent uniformément sur R+... Mais dans ce cas, (très long) on utilise absolument pas le résultat de la question 2. Puisque la question 4 est l'application du TCD sur la somme partiel des un(x) et la question 5 utilise la majoration en 1.
Merci
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