Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Niryub

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Série entière exo

Bonjour,

Je suis étudiant en L2 maths et rencontre un petit problème sur l'exo portant sur les séries entières de cet examenhttp://www.mi.parisdescartes.fr/~lounes/MLM412/Archive%20examens/Ana4%2009-10%20session2_e.pdf.
En effet, à la question 3 on nous demande un calcul de Sigam un(x). Ma première idée est de faire le changement de variable u =x*e-x et remplacer dans la question 2. Or à la question 4 qui utilise le résultat précédent on intégre sur R+, j'en déduis qu'il faut calculer Sigma un(x) sur R+. D'après la première méthode je n'aurais qu'un résultat sur -e,e(-1).
La deuxième méthode consiste à utiliser le théorème sur la dérivation des séries appliqué à la série de fonction Sigma (x*e-x)^n. En la dérivant on fait apparaître les un(x) reste à prouver que les u'n(x) convergent uniformément sur R+... Mais dans ce cas, (très long) on utilise absolument pas le résultat de la question 2. Puisque la question 4 est l'application du TCD sur la somme partiel des un(x) et la question 5 utilise la majoration en 1.

Merci

Niryub

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Re : Série entière exo

Ci dessous le lien de l'exercice (numéro 3) http://www.mi.parisdescartes.fr/~lounes … ion2_e.pdf

Fred

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Re : Série entière exo

Bonjour,

  Pour que ce soit plus clair, j'écris l'énoncé. A la question 2°, on démontre que pour tout x dans ]-1,1[, on  a
[tex]\sum_{n=1}^{+\infty}nx^n=\frac x{(1-x)^2}[/tex]
et on veut calculer
[tex]\sum_{n=1}^{+\infty}nx^ne^{-nx}[/tex] pour tout x dans [tex]\mathbb R_+[/tex].

Ta première idée est bonne : on pose [tex]y=xe^{-x}[/tex]
et on peut appliquer le résultat de la question 2° car, pour tout x dans  [tex]\mathbb R_+[/tex], y est dans ]-1,1[.
Il faut bien voir que tu as bien le résultat pour tout x dans  [tex]\mathbb R_+[/tex].

Fred.

Niryub

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Re : Série entière exo

Ahhhhh, j'ai confondu mes ensembles d'arrivé et de départ de mon changement de variable ...
Un grand merci :-)

Dernière modification par Niryub (12-05-2012 16:29:41)