Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour, bonsoir à tous! Je me baladais sur internet quand je suis tombé sur ce petit exo: Soit [tex](m, n) \in \mathbb{N}²[/tex], montrer que [tex]\frac{(2m!)(2n!)}{(m+n)!(n!)(m!)} \in \mathbb{N}[/tex].

L'énoncé ne paraît pas si compliqué alors j'ai testé des calculs de base pour simplifier mais je finis toujours bloqué. Si quelqu'un a une piste ou peut m'éclairer sur une autre manière de résoudre ça je suis preneur!

Voilà globalement mes raisonnements:

[tex]\frac {\prod_{k=1}^{2m} k *\prod_{k=1}^{2n} k}{\prod_{k=1}^{n+m} k *\prod_{k=1}^n k *\prod_{k=1}^m k}
= \frac {\prod_{k=m+1}^{2m} k *\prod_{k=n+1}^{2n} k*(\prod_{k=1}^n k *\prod_{k=1}^m k)}{\prod_{k=1}^{n+m} k *(\prod_{k=1}^n k *\prod_{k=1}^m k)}
= \frac {\prod_{k=m+1}^{2m} k *\prod_{k=n+1}^{2n} k}{\prod_{k=1}^{n+m} k}[/tex]

En prenant [tex]n < m[/tex], on a alors [tex]2n < n+m [/tex], et on peut faire:

[tex]\frac {\prod_{k=m+1}^{2m} k *\prod_{k=n+1}^{2n} k}{\prod_{k=1}^{n+m} k}
= \frac {\prod_{k=m+1}^{2m} k *(\prod_{k=n+1}^{2n} k)}{\prod_{k=1}^{n} k*(\prod_{k = n+1}^{2n} k)*\prod_{k=2n+1}^{m+n} k}
= \frac {\prod_{k=m+1}^{2m} k}{\prod_{k=1}^{n} k*\prod_{k=2n+1}^{m+n} k}[/tex]

À partir de là difficile d'avancer plus selon moi.

Je doute que ce soit la bonne méthode vu le résultat obtenu mais je vois pas trop comment faire autrement, alors si jamais une idée ou un conseil vous vient... :-)

Bonjour à vous,

Dans un exercice j'ai rencontré une fonction dans laquelle il y avait un ln(cos²(x)). La première question est comme à l'habitude déterminer l'ensemble de définition, qui est l'ensemble IR privé des (2k+1)*pi/2.
Cependant, (à moins que je me trompe, si c'est le cas je veux bien une explication) on pourrait aussi écrire ln(cos²(x)) comme 2ln(cos(x)), qui serait alors définie sur une bien plus petite partie de IR. Mes questions sont donc: est-ce faux de considérer que 2ln(cos(x)) est définie sur le même ensemble que ln(cos²(x)), et si oui, dans un cas comme celui-là quel ensemble vaut-il mieux choisir? (Généralement le plus grand je suppose?)

Si quelqu'un pouvait éclairer ma lanterne, je lui en serais reconnaissant! ;)