Forum de mathématiques - Bibm@th.net
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#1 25-02-2024 00:39:46
- cloporte
- Membre
- Inscription : 27-12-2023
- Messages : 7
Une fraction entière?
Bonjour, bonsoir à tous! Je me baladais sur internet quand je suis tombé sur ce petit exo: Soit [tex](m, n) \in \mathbb{N}²[/tex], montrer que [tex]\frac{(2m!)(2n!)}{(m+n)!(n!)(m!)} \in \mathbb{N}[/tex].
L'énoncé ne paraît pas si compliqué alors j'ai testé des calculs de base pour simplifier mais je finis toujours bloqué. Si quelqu'un a une piste ou peut m'éclairer sur une autre manière de résoudre ça je suis preneur!
Voilà globalement mes raisonnements:
[tex]\frac {\prod_{k=1}^{2m} k *\prod_{k=1}^{2n} k}{\prod_{k=1}^{n+m} k *\prod_{k=1}^n k *\prod_{k=1}^m k}
= \frac {\prod_{k=m+1}^{2m} k *\prod_{k=n+1}^{2n} k*(\prod_{k=1}^n k *\prod_{k=1}^m k)}{\prod_{k=1}^{n+m} k *(\prod_{k=1}^n k *\prod_{k=1}^m k)}
= \frac {\prod_{k=m+1}^{2m} k *\prod_{k=n+1}^{2n} k}{\prod_{k=1}^{n+m} k}[/tex]
En prenant [tex]n < m[/tex], on a alors [tex]2n < n+m [/tex], et on peut faire:
[tex]\frac {\prod_{k=m+1}^{2m} k *\prod_{k=n+1}^{2n} k}{\prod_{k=1}^{n+m} k}
= \frac {\prod_{k=m+1}^{2m} k *(\prod_{k=n+1}^{2n} k)}{\prod_{k=1}^{n} k*(\prod_{k = n+1}^{2n} k)*\prod_{k=2n+1}^{m+n} k}
= \frac {\prod_{k=m+1}^{2m} k}{\prod_{k=1}^{n} k*\prod_{k=2n+1}^{m+n} k}[/tex]
À partir de là difficile d'avancer plus selon moi.
Je doute que ce soit la bonne méthode vu le résultat obtenu mais je vois pas trop comment faire autrement, alors si jamais une idée ou un conseil vous vient... :-)
Hors ligne
#4 25-02-2024 13:43:41
- Glozi
- Invité
Re : Une fraction entière?
Bonjour,
Si on pose $f(n,m) := \frac{(2n)!(2m)!}{n!m!(n+m)!}$, la seule technique élémentaire que je connaisse pour montrer que $f(n,m)$ est un entier est de calculer $f(n+1,m)+f(n,m+1)$ et d'essayer de faire apparaitre du $f(n,m)$. Après, si tu as un problème annexe d'où provient cette quantité il est possible qu'un argument plus élémentaire permette de conclure.
En fait, ces nombres (en fait plutôt les nombres $f(n,m)/2$) sont connus sous le nom anglais de "super Catalan numbers".
Effectivement, si on fait $m=1$, on trouve $f(n,1)/2= \frac{(2n)!}{n!(n+1)!}$ qui est le $n$-ième nombre de Catalan.
Au passage, faire attention : $(2n!)\neq (2n)!$
Bonne journée
#6 26-02-2024 14:29:25
- Glozi
- Invité
Re : Une fraction entière?
Très malin !
Je n'avais pas pensé à ce genre d'astuce.
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