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Bonjour,

J'ai un exercice de stats inférentielles et je crois avoir compris comment commencer, j'aimerais avoir votre avis sur le début de mes recherches. Voici l'énoncé :

On veut estimer la superficie d'un champ carré à l'aide d'une image satellite. On suppose qu'un seul côté du champ est mesurable.
La première mesure donne $x_1=510m$ donnant une superficie $s_1=26.01$ hectares. Une deuxième mesure donne $x_2=490m$ d'où $s_2=24.01$h. L'objet du pb est de trouver la combinaison de ces deux mesures qui donne la meilleure estimation de la superficie parmi $s_1$ et $s_2$ et les trois suivantes : $s_3=\frac{s_1+s_2}{2}=25.01$, $s_4=(\frac{s_1+s_2}{2})^2=25$ et $s_5=x_1\times x_2=24.99$. On suppose que $x_1$ et $x_2$ sont les réalisations de deux variables aléatoires $X_1$ et $X_2$ indépendantes suivant chacune une loi normale de paramètre $x$ (la vraie longueur du côté) et de variance $\sigma^2$. On note $S_1,...,S_5$ les estimateurs correspondant aux estimations $s_1,...,s_5$.
Comparer les risques quadratiques de chacun des estimateurs, conclure. Aide : Lorsque $X\sim N(m,\sigma^2)$ alors $Var(X^2)=2\sigma ^4+4m^2\sigma ^2$

Mon plan de travail : calculer les risques quadratique de chaque estimateur, tracer ce risque par rapport au paramètre que l'on cherche. Ici c'est $x$.
Formules pratiques pour ce calcul : $R_{S_1}(x)=E_x[(S_1(X)-x)^2]=Var_x(S_1(X))+[E_x(S_1(x))-x]^2$
Or comme $s_1=x_1\times x_1$ alors on a : $R_{S_1}(x)=Var_x(X_1^2)+[E_x(X_1^2)-x]^2$. Avec l'aide, on a $R_{S_1}(x)=2\sigma ^4+4m^2\sigma ^2+[E_x(X_1^2)-x]^2=2\sigma ^4+4m^2\sigma ^2+[Var_x(X_1)+[E_x(X_1)]^2-x]^2$ (car $E(X^2)=Var(X)+[E(X)]^2$)
$R_{S_1}(x)=2\sigma ^4+4m^2\sigma ^2+[\sigma ^2+x^2-x]^2=...$

Merci à tous d'avance,

-g0an

Bonjour,

J'ai besoin d'aide pour un exercice de dérivabilité. En voici l'énnoncé :

Soient $\overrightarrow{f}(x), \overrightarrow{g}(x):U\subset \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R^n}$ deux fonctions dérivables sur l'ouvert $U$ de $\mathbb{R}$. On note $\cdot$ le produit scalaire canonique sur $\mathbb{R^n}$.
Montrer que $\phi:U\subset \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}, x\mapsto \overrightarrow{f}(x)\cdot \overrightarrow{g}(x)$ est dérivable sur $U$ et donner la valeur de $\phi ' (x)$, pour tout  $x\in U$.

J'ai une proposition mais qui me semble complètement fausse mais je ne vois pas trop comment faire autrement.
J'ai posé : $\overrightarrow{f}(x)=(f_1,f_2,...f_n)^T$ et $\overrightarrow{g}(x)=(g_1,g_2,...,g_n)^T$ et utiliser la définition de la dérivabilité.
C'est à dire : montrer que $lim_{h\rightarrow 0} \frac{\overrightarrow{f}(x+h)\cdot \overrightarrow{g}(x+h)-\overrightarrow{f}(x)\cdot \overrightarrow{g}(x)}{h}$ existe. On pose $A=\frac{\overrightarrow{f}(x+h)\cdot \overrightarrow{g}(x+h)-\overrightarrow{f}(x)\cdot \overrightarrow{g}(x)}{h}$
D'une part, $\overrightarrow{f}(x)\cdot \overrightarrow{g}(x)=\sum_{i=1}^n f_i g_i$
D'autre part, $\overrightarrow{f}(x+h)\cdot \overrightarrow{g}(x+h)=\sum_{i=1}^n (f_i+h)(g_i+h)=\sum_{i=1}^n f_i g_i + f_i h + g_i h + h^2=nh^2 + \sum_{i=1}^n f_i g_i + f_i h + g_i h$
Alors dans $A$, on a : $A=\frac{nh^2 + \sum_{i=1}^n f_i g_i + f_i h + g_i h-\sum_{i=1}^n f_i g_i}{h}=\frac{nh^2 + \sum_{i=1}^n f_i h + g_i h}{h}=nh+\sum_{i=1}^n f_i + g_i \rightarrow_{h\rightarrow 0} \sum_{i=1}^n f_i + g_i $
La limite de $A$ quand $h$ tend vers 0 est finie. Ainsi, $\phi$ est dérivable.

Sa dérivée correspond à la somme de toutes les composantes de l'image de $x$ par $f$ et par $g$.

Ce résultat me semble bien curieux (voire même faux car j'ai testé sur un contre exemple qui invalide cela).
Serait-il possible de me préciser ou j'ai pu me trompé et comment je peux corriger cela ?

Merci beaucoup et à bientôt !

Bonjour,

Je vous fait part d'un problème que je rencontre en topologie:
Soit $E$ un espace vectoriel sur $\mathbb{R}$. Soient $N_1$ et $N_2$ deux normes sur $E$ et $\alpha\in \mathbb{R}^{*}$.
Montrer l'équivalence suivante :
$\forall u\in E,\alpha N_1(u)\leq N_2(u) \Leftrightarrow  \overline{B}_{N_2}(\overrightarrow{0},1)\subset \overline{B}_{N_1}(\overrightarrow{0},\frac{1}{\alpha})$

Déjà j'ai un gros soucis de compréhension, j'ai beaucoup de mal à comprendre ce que "physiquement" cette propriété implique et sa représentation. Je sens que ça m'empêche de bien commencer...
Sinon voici le peu que j'ai pu faire:

Déjà, il semblerait comme nous sommes dans un espace vectoriel de dimension finie, toutes les normes sont équivalentes. Ainsi $\exists A,B>0$ tq $\forall AN_1(x)\leq N_2(x)\leq BN_1(x)$. Ici, on écrit alors $\alpha N_1(u)\leq N_2(u)$ avec $N_1$ et $N_2$ équivalents.

$\Leftarrow$ : On suppose que $\overline{B}_{N_2}(\overrightarrow{0},1)\subset \overline{B}_{N_1}(\overrightarrow{0},\frac{1}{\alpha})$. On a alors par définition: $\overline{B}_{N_2}:\{x\in E:N_2(x)\leq1\}$ et $\overline{B}_{N_1}:\{x\in E:N_1(x)\leq \frac{1}{\alpha}\}$. Et là je suis bloqué pour montrer l'ingénalité sur les normes (je me doute qu'il faut utiliser l'hypothèse que l'inclusion des boules mais je ne comprend pas comment)
$\Rightarrow$ :
On sait que $N_1$ et $N_2$ sont équivalents
Or si $N_1$ et $N_2$ sont deux normes équivalentes sur $E$ alors toute boule de centre $a$ pour l’une des normes est incluse et contient des boules de même centre $a$ (mais de rayons différents) pour l’autre norme.
Donc il existe bien deux boules fermées telles que $ \overline{B}_{N_2}(\overrightarrow{0},1)\subset \overline{B}_{N_1}(\overrightarrow{0},A)$
Et là je ne sais pas comment montrer que $A=\frac{1}{\alpha}$

Je vous remercie d'avance pour votre aide, merci beaucoup !