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goamC

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Différentiabilité d'une norme

Bonsoir !

Je vous contacte au sujet d'un soucis que j'ai sur un exercice dont voici l'énoncé :

Soit $E$ un espace vectoriel normé, dont la norme est notée $||.||$.
Si $E$ est préhilbertien, montrer que $||.||$ est différentiable sur $E$ privé du vecteur nul et donner sa différentielle en $x$ non nul.

Ma proposition est la suivante :
Soit la fonction $f:E\rightarrow \mathbb{R}$ telle que $f(x)=||x||$. Montrer que $f$ est différentiable revient à montrer que : pour un $x$ fixé de $E$, $\forall h\in E$ tel que $h+x\in E$ (avec $h$ différent du vecteur nul), $\exists l:E\rightarrow \mathbb{R}$ (application linéaire continue) telle que $f(x+h)-f(x)=l(x)+||h||\epsilon (h)$ (avec le reste $||h||\epsilon (h)$ qui tend vers $0$ quand la $h$ tend vers le vecteur nul).
On calcul alors $f(x+h)-f(x)$ pour chercher à faire apparaitre une application linéaire $l(x)$ et vérifier que le reste tend vers $0$ quand $h$ tend vers le vecteur nul): $f(x+h)-f(x)=||x-h||-||x||=\sqrt{||x||^2+||h||^2+2<x,h>}-||x||$ ...
Et là je ne trouve pas du tout la partie linéaire, je suis convaincu qu'une propriété astucieuse des espaces préhilbertiens peut aider mais je n'ai rien trouvé.

Merci pour votre aide !
À bientôt

Fred

Administrateur

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Re : Différentiabilité d'une norme

Bonjour,

  Peut-être peux-tu commencer par démontrer que $x\mapsto \|x\|^2$ est différentiable, puis utiliser un résultat concernant la composée de deux fonctions différentiables....

F.