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goamC

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Tribu boréliennes et mesure de Lebesgue

Bonjour,

J'ai une question concernant une justification d'un exercice. Voici l'énoncé et ma proposition et les partie en rouge, les endroits où je doute de mes justifications. Si vous pouvez me confirmer que mes raisonnements sont bon je vous en serai très reconnaissant. :)

$n\in \mathbb{N}^*$ On considère l'ensemble $D_n$ des réels inclus dans $[0;1]$, dont l'écriture en base 10 est de la forme $x=0,d_{1}d_{2}d_{3}...d_{n}$ avec exactement $n$ décimales, avec $d_i=\{0;1 \} \forall i\in \{1;..;n\}$

1. a) Montrer que cet ensemble est un borélien
Mon idée:
-Soit $d$ un élément de $D_n$. Il est clair que $d\in [0;1]$.
Or (propriété de mon cours) Tous les intervalles réel (fermés ou ouverts à gauche comme à droite, bornés ou non) et tous
les singletons sont des Boréliens de $\mathbb{R}$.
Donc $d$ est un borélien.
-(et c'est exactement ce passage qui m'ait fragile) Comme $D_n$ est la réunion dénombrable des intervalles $d$, on conclut que $D_n$ est un Borélien.

b)Calculer $\lambda(D_n)$. Où $\lambda$ désigne la mesure de Lebesgue.
Mon idée:
On sait que $D_n$ a exactement $2^n$ éléments.
Or tout ensemble fini est de mesure nulle
Donc $\lambda(D_n)=0$

2. On note $D=\cup_{n>=1}D_n$
a) Montrer que cet ensemble est un Borélien et calculer $\lambda(D)$.
Mon idée:
On sait que $D_n$ est un Borélien (cf question 1.a)) et $D$ est la réunion dénombrable des $D_n$.
Or la réunion dénombrable des intervalles Boréliens est un Borélien.
Ainsi $D$ est un Borélien.

b)Calculer $\lambda(D)$. Où $\lambda$ désigne la mesure de Lebesgue.
Mon idée:
On sait que $\lambda(D_n)=0$
Or $\lambda(\cup_{n\in \mathbb{N}}D_n)\le \sum_{n=0}^{+\infty}\lambda(D_n)$
$\lambda(D)\le \sum_{n=0}^{+\infty}\lambda(D_n)$
$\lambda(D)\le 0$
Donc $\lambda(D)=0$

Glozi

Invité

Re : Tribu boréliennes et mesure de Lebesgue

Bonjour,
Ton raisonnement m'a l'air correct. Pour ta première hésitation il faudrait plutôt dire que $\{d\}$ et non pas $d$ est un borelien, car singleton. Et que $D_n$ est l'union finie (ou au plus denombrable) de singletonq plutôt que d'intervalles pour etre parfaitement rigoureux (tu as l'air de dire que $d$ est un intervalle ce qui est faux : $d$ est un réel)

Pour ta deuxième hesitation, la propriété que tu énonces est vraie (si la mesure est la mesure de Lebesgue). Il faut juste se convaincre que la mesure de Lebesgue d'un singleton est nulle (car un singleton est inclus dans des intervalles de longueurs arbitrairement petites) puis de raisonner comme au 2)b) en majorant la mesure d'une union.

Bonne journée