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goamC

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Dérivabilité d'un produit scalaire

Bonjour,

J'ai besoin d'aide pour un exercice de dérivabilité. En voici l'énnoncé :

Soient $\overrightarrow{f}(x), \overrightarrow{g}(x):U\subset \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R^n}$ deux fonctions dérivables sur l'ouvert $U$ de $\mathbb{R}$. On note $\cdot$ le produit scalaire canonique sur $\mathbb{R^n}$.
Montrer que $\phi:U\subset \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}, x\mapsto \overrightarrow{f}(x)\cdot \overrightarrow{g}(x)$ est dérivable sur $U$ et donner la valeur de $\phi ' (x)$, pour tout  $x\in U$.

J'ai une proposition mais qui me semble complètement fausse mais je ne vois pas trop comment faire autrement.
J'ai posé : $\overrightarrow{f}(x)=(f_1,f_2,...f_n)^T$ et $\overrightarrow{g}(x)=(g_1,g_2,...,g_n)^T$ et utiliser la définition de la dérivabilité.
C'est à dire : montrer que $lim_{h\rightarrow 0} \frac{\overrightarrow{f}(x+h)\cdot \overrightarrow{g}(x+h)-\overrightarrow{f}(x)\cdot \overrightarrow{g}(x)}{h}$ existe. On pose $A=\frac{\overrightarrow{f}(x+h)\cdot \overrightarrow{g}(x+h)-\overrightarrow{f}(x)\cdot \overrightarrow{g}(x)}{h}$
D'une part, $\overrightarrow{f}(x)\cdot \overrightarrow{g}(x)=\sum_{i=1}^n f_i g_i$
D'autre part, $\overrightarrow{f}(x+h)\cdot \overrightarrow{g}(x+h)=\sum_{i=1}^n (f_i+h)(g_i+h)=\sum_{i=1}^n f_i g_i + f_i h + g_i h + h^2=nh^2 + \sum_{i=1}^n f_i g_i + f_i h + g_i h$
Alors dans $A$, on a : $A=\frac{nh^2 + \sum_{i=1}^n f_i g_i + f_i h + g_i h-\sum_{i=1}^n f_i g_i}{h}=\frac{nh^2 + \sum_{i=1}^n f_i h + g_i h}{h}=nh+\sum_{i=1}^n f_i + g_i \rightarrow_{h\rightarrow 0} \sum_{i=1}^n f_i + g_i $
La limite de $A$ quand $h$ tend vers 0 est finie. Ainsi, $\phi$ est dérivable.

Sa dérivée correspond à la somme de toutes les composantes de l'image de $x$ par $f$ et par $g$.

Ce résultat me semble bien curieux (voire même faux car j'ai testé sur un contre exemple qui invalide cela).
Serait-il possible de me préciser ou j'ai pu me trompé et comment je peux corriger cela ?

Merci beaucoup et à bientôt !

Fred

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Re : Dérivabilité d'un produit scalaire

Bonjour,

  L'erreur est ici :

D'autre part, $\overrightarrow{f}(x+h)\cdot \overrightarrow{g}(x+h)=\sum_{i=1}^n (f_i+h)(g_i+h)$

Que vient faire ce $f_i+h????$ Tu dois plutôt écrire

$\overrightarrow{f}(x+h)\cdot \overrightarrow{g}(x+h)=\sum_{i=1}^n f_i(x+h)g_i(x+h)$

et ensuite, si tu veux continuer, je te conseille d'étudier la preuve de la dérivée du produit de deux fonctions, ou alors de te ramener à ce résultat.

F.

Ayoub EL ADDOUNI

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Re : Dérivabilité d'un produit scalaire

Est ce que en peut faire comme ça <f+h,g+h>-<f,g> =<f,g+k> +<h,g+k> -<f,g>=<f,g>+<f,k>+<h,g>+<h,k>-<f,g>=
O(h,k)=<h,k>
Tita'(f,g)(h,k)=<f,k>+<h,g>=sigma fikj+sigma higj

Ayoub EL ADDOUNI

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Re : Dérivabilité d'un produit scalaire

J'ai sauté que tita est dérivable

Ayoub EL ADDOUNI

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Re : Dérivabilité d'un produit scalaire

tita c'est un composée de deux fonction ti: R---->R² dans x----> (f(x),g(x)) et ta: R²--->R dans (f(x),g(x))-----><f(x),g(x)>
alore tita="ta"composépar"ti"