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Bonjour merci de m'aider svp ,je suis bloqué dans la question 4

On déplace un pion sur un ensemble de points, modélisé par N, de la façon suivante.A l’instant 0, le pion est en 0. A l’instant n, on note X_n la position du pion. On tire alors à pile ou face avec une pièce équilibrée. Si X_n ≠ 0 et si on a obtenu pile (respectivement face) , alors le pion passe en X_n+ 1(respectivement X_n−1) à la date n+ 1. Si X_n= 0 alors le pion passe en 1 quelque soit le résultat du tirage.
1. Montrer que(Xn)n≥0est une chaîne de Markov homogène
.2. Déterminer sa matrice de transition et sa loi initiale
.3. La chaîne(Xn)n≥0est-elle irréductible (tous les états communiquent) ?
4. Existe-t’il une probabilité invariante

Bonjour
j'arrive pas a montrer que si p(B)=0 alors p(A/B)=0

BONJOUR
je suis bloqué dans cette question
merci de m'aider svp
comment montrer que l'application suivante est injective pour t  ∈R
J'ai essayé a montrer que g(t)=g(t') ⇒ t=t' mais j'arrive a trouvé une expression simple

                        gt) =  (t -tanh(t);1/cosh(t))

Bonjour
pour la question  3  j'ai répondu  a 3b et 3a en même temps en passant par définition du dérivabilité en x
en calculant limite h en 0 de  (f(x+h)-f(x))/h =limite de h en de f(h)/h =f'(0)
je veux savoir comment je peux répondre a 3a avant 3b merci de m'aider svp

Le but de cette partie est de trouver des fonctions f définies sur R à valeurs dans R
qui vérifient :
∀(x; y) ∈ R^2; f(x + y) = f(x) + f(y): (1)
Soit f une fonction définie sur R à valeurs dans R qui vérifie (1):
1. Montrer que f(0) = 0:
2. On suppose que f est continue en 0. Montrer que f est
continue sur R. ( i.e. pour tout x_0 ∈ R; limh0 f(x_0 + h) = f(x_0)
3. On suppose que f est dérivable en 0:
a. Montrer que f est dérivable sur R
b. Donner alors pour tout x ∈ R  f'(x)
c. Montrer que pour tout x 2 R, on a f(x) = f'(0) x

BONJOUR JE SUIS Bloqué dans cette système d'équation   
x'=2y
y'=-2x -4x^3
a) Mettre le système précédent sous la forme X'= F(t;X) et vérifier les hypothèses
du théorème de Cauchy-Lipschitz.
ma réponse; X'=AX+B AVEC A= ( 0  2 ) et B=(    0       )
                                          -2   0              4x^3

les hypothèses du théorème de Cauchy-Lipschitz a vérifier que F est c1?

b) Montrer que pour une solution maximale de (S) la quantité x(0)^2 + y(0)^2 + x(0)^4 est constante.
En déduire que cette solution est globale, c'est-a-dire définie pour t ∈ R.
c) Soit, pour une solution maximale de (S), K = x(0)^2 + y(0)^2 + x(0)^4 et soit T(k) la
courbe dans R2 d'équation ( x1)^2 + (y1)^2 + (x1)^4=k
. La courbe T(K )ressemble a une ellipse,
avec deux axes de symétrie x1 = 0 et x2 = 0. Supposons que x(0) = 0 et y(0) > 0.
                  (i) Dans quelle direction varie le point M(t) = (x(t); y(t)) quand il est dans le
              quadrant Q++ : x1 ≥0; x2 ≥ 0 et t augmente?
                (ii) Prouver que l'ensemble des points M(t) pour t ≥ 0 ne peut pas être contenu dans Q++. 
   On raisonnera par l'absurde en prouvant que si c'est faux, alors il existe
              x(∞) = lim+∞ x(t), y(∞)= lim+∞ y(t)
   et en utilisant le lemme ci-dessous :
Lemme : Soit f : R dans R de classe C1. S'il existe un réel non nul L =
lim+∞ f'(t), alors lim+∞ |f(t) | = +∞
j'ai besoin des indications claire svp  merci par avance pour les questions