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EL ABBAS 01

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equation fonctionnelle

BONJOUR je suis bloqué dans cette question je sais que f:z→¯z (z barre) est une solution mais je sais  pas comment démonter ça et monter aussi qu'elle est unique   merci de m'aider svp

Déterminer l’unique fonction f, différente de l’identité, définie sur C à valeurs dans C
telle que f(z) = z lorsque z est un réel et telle que :
∀ (z; z') ∈ C^2; f(z + z') = f(z) + f(z') et  f(z.z') = f(z).f(z')

Roro

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Re : equation fonctionnelle

Bonsoir,

Tu peux procéder par analyse-synthèse (la synthèse est simple : il suffira de vérifier que l'application $z\mapsto \overline z$ convient).

Supposons donc qu'une telle application $f$ existe.
Je vais te poser trois questions qui devraient te permettre de conclure :

1) Que vaut $f(i)^2$ ?
2) Que peux-tu dire de $f(i)$ ?
3) Que vaut $f(a+ib)$ si $a$ et $b$ sont réels ?

Roro.

Dernière modification par Roro (14-05-2020 21:02:18)

EL ABBAS 01

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Re : equation fonctionnelle

Re
Si je comprends bien je trouve pour le 1)  f(i)2= f(-1)=-1
2) f(i)= ±i d’après 1)
3)  f(a+ib) = a+  f(ib)= a+ f(b) f(i)= a±ib  comme f est est différente de l’identité donc f(a+ib) = a-ib
mais je suis pas très a l'aise avec Le raisonnement par analyse-synthèse

Roro

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Re : equation fonctionnelle

Re-bonsoir,

Tu as tout juste : si $f$ est une solution, tu as montré que c'était forcément l'application $z\mapsto \overline z$.

Maintenant, il est facile de voir que cette application est bien une solution.

Conclusion : il n'y a qu'une seule solution, celle que tu as obtenu.

Roro.

EL ABBAS 01

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Re : equation fonctionnelle

Je vous remercie sincèrement pour votre aide !
cordialement