Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour,

On pose $\| u \|_p := \left( \sum | u_n |^p \right)^{1 / p}$ et $l^p
:= \{ u \in \mathbb{R}^{\mathbb{N}}, \| u \|_p < \infty \}$. Pour $p
\geqslant 1$, montrer que $(l^p, \| \cdot \|_p)$ est un espace de Banach.

Dans la partie où je montre qu'il est complet, voici comment j'ai commencé:

Soit $((u_n^k)_n)_k$, une suite de Cauchy dans $l^p$. Soient $\varepsilon > 0$ et $m \in \mathbb{N}$.
Ainsi, il existe $K \in \mathbb{N}$ tel que pour tout $\lambda, k \geqslant K$, on a
$| u_m^k - u_m^{\lambda} | \leqslant \left(\underset{n}{\sum} | u_n^k - u_n^{\lambda} |^p \right)^{1 / p} < \varepsilon$.
Donc la suite $(u_m^k)_k \in \mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ est de Cauchy, et par complétude de $\mathbb{R}$, elle converge vers une limite $u_m$.

A présent, il faut montrer que la suite $(\| (u_n^k)_n - (u_n)_n \|_p)_k$ converge vers 0 et que $\| (u_n)_n \|_p < \infty$.

Le second point se démontre à partir du premier: pour $\varepsilon >0$, il existe $k \in \mathbb{N}$ tel que $\| (u_n)_n \|_p - \| (u_n^k)_n \|_p \leqslant \| (u_n^k)_n - (u_n)_n \|_p < \varepsilon$,
donc $\| (u_n^k)_n \|_p < \varepsilon + \| (u_n^k)_n \|_p < \infty$. Mais pour le premier, j'ai un peu de mal.

Comme $\| (u_n^k)_n \|_p < \infty$, on a que $u_n^k \longrightarrow 0$ lorsque $n \longrightarrow \infty$, donc $u_n \longrightarrow 0$ pour $n \longrightarrow \infty$.

Est-ce que ça fonctionne si je dis que pour tout $N \in \mathbb{N}$, on a
$\underset{n = 0}{\overset{N}{\sum}} |
u_n^k - u_n |^p \longrightarrow 0$ lorsque $k \longrightarrow 0$, donc
$\underset{N \rightarrow \infty}{\lim} \underset{k \rightarrow \infty}{\lim}
\underset{n = 0}{\overset{N}{\sum}} | u_n^k - u_n |^p = 0$, et donc
$\underset{k \rightarrow \infty}{\lim} \| (u_n^k)_n - (u_n)_n \|_p =
\underset{k \rightarrow \infty}{\lim} \underset{N \rightarrow \infty}{\lim}
\left( \underset{n = 0}{\overset{N}{\sum}} | u_n^k - u_n |^p \right)^{1 / p} =
0$ ?

En vous remerciant !

Bonjour,

J'ai un exercice avec le corrigé que je ne comprends pas vraiment. Voici l'énoncé:

On considère la dérivation $D : \mathcal{C}^1 ([0, 1]) \rightarrow
\mathcal{C} ([0, 1])$ définie par $f \mapsto f'$ et on munit les deux
espaces de la norme $\| \cdot \|_{\mathcal{C}}$. $D$ est-elle continue ?

Et le corrigé:

On a, pour tout $\alpha \in \mathbb{R}$, $\| D \| = \sup \left( \dfrac{\| D
(f) \|_{\mathcal{C}}}{\| f \|_{\mathcal{C}}} \right) \geqslant \dfrac{\| D
(e^{\alpha x}) \|_{\mathcal{C}}}{\| e^{\alpha x} \|_{\mathcal{C}}} = | \alpha
|$, donc $\| D \| = + \infty$ et $D$ n'est pas continue.

Je ne vois pas vraiment le lien entre la norme de $D$ qui est infini et la non-continuité de $D$, mais j'ai réussi à le résoudre autrement:

En supposant par l'absurde que $D$ est continue, on a pour tout $\varepsilon >
0$ et pour tout $f \in \mathcal{C}^1 [0, 1]$, l'existence d'un $\delta > 0$ tel que
pour tout $g \in \mathcal{C}^1 ([0, 1])$, si $\| f - g \|_{\mathcal{C}} <
\delta$, alors $\| D (f - g) \|_{\mathcal{C}} < \varepsilon$.

A $\varepsilon > 0$ fixé, on pose $f : x \mapsto c_1
e^{\alpha x}$ et $g : x \mapsto c_2 e^{\alpha x}$. On a donc $\| f - g
\|_{\mathcal{C}} < \delta$ si $| c_1 - c_2 | < \dfrac{\delta}{\| e^{\alpha x}
\|_{\mathcal{C}}}$ et $\| D (f - g) \|_{\mathcal{C}} = | \alpha | | c_1 - c_2
| \| e^{\alpha x} \|_{\mathcal{C}} < \varepsilon$.
On pose $c_2$ tel que $| c_1 - c_2 | = \dfrac{\delta}{2 \| e^{\alpha x}
\|_{\mathcal{C}}}$ et l'on a

$\| D (f - g) \|_{\mathcal{C}} = | \alpha | | c_1 - c_2 | \| e^{\alpha x}
\|_{\mathcal{C}} = \dfrac{| \alpha | \delta}{2} < \varepsilon$, ce qui est absurde lorsque l'on fait tendre $\alpha$ vers l'infini.

Je sens bien que mon raisonnement utilise implicitement l'argument $\| D \| = + \infty$, mais je ne vois pas vraiment où ni comment. Pourriez-vous me donner quelques indications ?

Je vous remercie d'avance pour votre aide !

Bonjour tout le monde !

Dans mes petites révisions, je suis tombé sur le théorème (dit fondamental ?) suivant: L'image d'un compact par une application continue est compact. Problème: dans la démonstration, il est supposé que les espaces de départ et d'arrivé sont des espaces métrique. Ou encore, dans mon cours, il est seulement supposé que l'espace d'arrivé est séparé.
Je me suis donc attelé à la tâche de le démontrer en toute généralité, ça me parait correcte, mais étant donnée que je ne suis pas tombé dessus, je préfère poster ma démonstration ici pour qu'on me confirme sa justesse, ou que l'on me dise où je me suis trompé (histoire que je ne débite pas des aberrations par la suite...).
La voici:

Soient E, F, deux espaces topologiques et $f : E \rightarrow F$ une application continue.
Soient $K \subset E$, un compact et $L := f (K)$.
Soient $(V_i)_{i \in I} \subset \mathcal{T}_E$ un recouvrement ouvert de $L$ et $(U_i)_{i \in I}$ défini par $U_i := f^{- 1} (V_i)$.

Par continuité de $f$, les $U_i$ sont ouverts. De plus, $K \subset\underset{i \in I}{\cup} U_i$.
Par compacité, il existe $J \subset I$, fini, tel que $K \subset\underset{i \in J}{\cup} U_i$.
Donc $L = f (K) \subset f \left( \underset{i \in J}{\cup} U_i \right) \subset
\underset{i \in J}{\cup} f (U_i)$=$\underset{i \in J}{\cup} V_i$.

Qu'en pensez-vous ?
En vous remerciant !

Bonjour à tous !

Je bloque sur un passage de la démonstration de la proposition suivante (je fais les présentations, les questions viennent après les images):

[tex]f: U \rightarrow \mathbb{R} \\
g: U \rightarrow \mathbb{R} \\
S = \{x \in U\, |\, g(x) = 0\}[/tex]

f admet un extremum local en A lié à S alors [tex]df_A = \lambda dg_A[/tex]

Qui est sensé avoir pour corollaire:
f admet un extremum local en A et les [tex]dg_{iA}[/tex] sont linéairement indépendants, alors [tex]df_A[/tex] est combinaison linéaire des [tex]dg_{iA}[/tex]. Les facteurs sont appelés multiplicateurs de Lagrange.

Ça c'est pour la version cours (dont la démonstration est... on va dire mal recopiée). Notre prof nous a mis à disposition un poly dans lequel le théorème suivant est démontré:

Questions (surtout la 3):
1) Je n'ai pas de démo pour la seconde proposition de mon cours. Comment je fais le lien (peut-être auriez-vous besoin de la demo de mon cours) entre la première et seconde proposition de mon cours ? (pas le poly) Je suppose que la démo du poly le fait directement, mais je vous invite à regarder ma seconde question.
2) Les multiplicateurs de Lagrange concerne une fonction ayant un extrema local, ok, mais lié ou non ? [tex]f_{|X}[/tex] signifie bien f restreint à X, donc ça devrait être lié selon le poly, mais dans mon cours, il semblerait que non.

3) La plus importante: Comment je déduis des deux dernières phrases le résultat du théorème ?
J'ai une famille de n-k vecteurs, ayant k+1 composantes, engendrant un espace à k dimensions. Je me doute bien (c'est assez intuitif pour moi) que le nombre de composante détermine la dimension maximal de l'espace, que dans un espace de dim = k, avec de tels vecteurs, (sous réserve d'en avoir au moins k+1), je pourrais annuler une composante en changeant de base. Mais je malgré mes bidouillages, je n'arrive pas à passer explicitement à une combinaison linéaire comme dans le résultat. Voici comment je suis parti:

[tex]
df_a = \sum\limits_{i=1}^{n-k}\frac{df}{dx_{i}}(a)dx_i = \sum\limits_{i=1}^{k}\lambda_i\frac{df}{dy_{i}}(a)dx_i[/tex], avec [tex]\lambda_i[/tex], une somme de [tex]\frac{dh_j}{dx_i}[/tex]. Mais après ça...

Est-ce que je suis sensé pouvoir expliciter les multiplicateurs ?

En vous remerciant !

Bonjour à tous !

Je cherche à dériver la fonction F définie comme suit:

Soit f: U -> R, U inclus dans [tex]\,R^n[/tex]
Soient V inclus dans [tex]\,R^{n-k}[/tex], W dans [tex]\,R^k[/tex] (j'ai donc U = VxW)
Soit p: V -> W (Il s'agit d'un paramétrage d'un sous-ensemble de U par la fonction f)
       On note p(x) = p(x₁, ... , x_k-n) = y = (y₁, ... , y_k)

Soit F: V -> R définie par F(x) = f(x,p(x))

Je cherche donc une méthode, point par point, pour calculer la dérivée partielle de F par rapport à x_i.

J'ai commencé par considérer F comme la composée de f avec x -> (x,p(x)) et j'obtiens:
[tex] \frac{df}{d(x,p(x))}(x,p(x)) * \frac{d(x,p(x))}{dxi}(x)[/tex]

[tex] = (\frac{df}{dx}(x,p(x)) + \frac{df}{dp(x)}(x,p(x)))  * (\frac{dx}{dxi}(x) + \frac{dp}{dxi}(x)) [/tex]

Mais je me retrouve avec une double distributivité, alors que dans la démonstration que j'étudie, il est écrit:
[tex] \frac{dF}{dxi}(x) = \frac{df}{dxi}(x,p(x)) + \sum\limits_{j=1}^k \frac{df}{dyj}(x,p(x))\frac{dpj}{dxi}(x) [/tex]

J'ai vraiment l'impression de m'emmêler les pédales, entre la composition et les indices.