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Zarathoustram

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Complétude de (lp, norme p), inversion de limite d'une somme partielle

Bonjour,

On pose $\| u \|_p := \left( \sum | u_n |^p \right)^{1 / p}$ et $l^p
:= \{ u \in \mathbb{R}^{\mathbb{N}}, \| u \|_p < \infty \}$. Pour $p
\geqslant 1$, montrer que $(l^p, \| \cdot \|_p)$ est un espace de Banach.

Dans la partie où je montre qu'il est complet, voici comment j'ai commencé:

Soit $((u_n^k)_n)_k$, une suite de Cauchy dans $l^p$. Soient $\varepsilon > 0$ et $m \in \mathbb{N}$.
Ainsi, il existe $K \in \mathbb{N}$ tel que pour tout $\lambda, k \geqslant K$, on a
$| u_m^k - u_m^{\lambda} | \leqslant \left(\underset{n}{\sum} | u_n^k - u_n^{\lambda} |^p \right)^{1 / p} < \varepsilon$.
Donc la suite $(u_m^k)_k \in \mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ est de Cauchy, et par complétude de $\mathbb{R}$, elle converge vers une limite $u_m$.

A présent, il faut montrer que la suite $(\| (u_n^k)_n - (u_n)_n \|_p)_k$ converge vers 0 et que $\| (u_n)_n \|_p < \infty$.

Le second point se démontre à partir du premier: pour $\varepsilon >0$, il existe $k \in \mathbb{N}$ tel que $\| (u_n)_n \|_p - \| (u_n^k)_n \|_p \leqslant \| (u_n^k)_n - (u_n)_n \|_p < \varepsilon$,
donc $\| (u_n^k)_n \|_p < \varepsilon + \| (u_n^k)_n \|_p < \infty$. Mais pour le premier, j'ai un peu de mal.

Comme $\| (u_n^k)_n \|_p < \infty$, on a que $u_n^k \longrightarrow 0$ lorsque $n \longrightarrow \infty$, donc $u_n \longrightarrow 0$ pour $n \longrightarrow \infty$.

Est-ce que ça fonctionne si je dis que pour tout $N \in \mathbb{N}$, on a
$\underset{n = 0}{\overset{N}{\sum}} |
u_n^k - u_n |^p \longrightarrow 0$ lorsque $k \longrightarrow 0$, donc
$\underset{N \rightarrow \infty}{\lim} \underset{k \rightarrow \infty}{\lim}
\underset{n = 0}{\overset{N}{\sum}} | u_n^k - u_n |^p = 0$, et donc
$\underset{k \rightarrow \infty}{\lim} \| (u_n^k)_n - (u_n)_n \|_p =
\underset{k \rightarrow \infty}{\lim} \underset{N \rightarrow \infty}{\lim}
\left( \underset{n = 0}{\overset{N}{\sum}} | u_n^k - u_n |^p \right)^{1 / p} =
0$ ?

En vous remerciant !

Dernière modification par Zarathoustram (29-10-2021 18:33:54)

Fred

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Inscription : 26-09-2005

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Re : Complétude de (lp, norme p), inversion de limite d'une somme partielle

Bonjour,

Je ne comprends pas le "donc" de la phrase suivante :

Comme $\| (u_n^k)_n \|_p < \infty$, on a que $u_n^k \longrightarrow 0$ lorsque $n \longrightarrow \infty$, donc $u_n \longrightarrow 0$ pour $n \longrightarrow \infty$.

Si on veut prouver que $u_n^k\to 0$ entraîne $u_n\to 0$, on va avoir besoin de quantificateurs.
Ce que tu proposes ensuite n'est pas correct non plus, car tu échanges deux symboles limites, et ceci n'est pas non plus autorisé sans précautions.

Il faut vraiment aller au plus près des choses et utiliser des quantificateurs, et réutiliser que la suite est de Cauchy. Je commence pour toi. On fixe $\epsilon>0$. Puisque $(u_n^k)_k$ est de Cauchy, il existe $k_0$ tel que, pour tout $k,l\geq k_0$, et pour tout $N\in\mathbb N$, on a
$$\sum_{n=0}^N |u_n^k-u_n^l|^p \leq\epsilon.$$

Et dans cette somme finie, tu peux faire tendre $l$ vers l'infini.....

F.

wlelseini

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Messages : 1

Re : Complétude de (lp, norme p), inversion de limite d'une somme partielle

Bonjour,

Je ne comprends pas le "donc" de la phrase suivante :

Comme $\| (u_n^k)_n \|_p < \infty$, on a que $u_n^k \longrightarrow 0$ lorsque $n \longrightarrow \infty$, donc $u_n \longrightarrow 0$ pour $n \longrightarrow \infty$.

Si on veut prouver que $u_n^k\to 0$ entraîne $u_n\to 0$, on va avoir besoin de quantificateurs.
Ce que tu proposes ensuite n'est pas correct non plus, car tu échanges deux symboles limites, et ceci n'est pas non plus autorisé sans précautions applinked.

Il faut vraiment aller au plus près des choses et utiliser des quantificateurs, et réutiliser que la suite est de Cauchy. Je commence pour toi. On fixe $\epsilon>0$. Puisque $(u_n^k)_k$ est de Cauchy, il existe $k_0$ tel que, pour tout $k,l\geq k_0$, et pour tout $N\in\mathbb N$, on a
$$\sum_{n=0}^N |u_n^k-u_n^l|^p \leq\epsilon.$$

Et dans cette somme finie, tu peux faire tendre $l$ vers l'infini.....

F.

Thanks

Dernière modification par wlelseini (14-11-2021 16:56:09)