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Zarathoustram

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Dérivation partielle de fonction composée à plusieurs variables

Bonjour à tous !

Je cherche à dériver la fonction F définie comme suit:

Soit f: U -> R, U inclus dans [tex]\,R^n[/tex]
Soient V inclus dans [tex]\,R^{n-k}[/tex], W dans [tex]\,R^k[/tex] (j'ai donc U = VxW)
Soit p: V -> W (Il s'agit d'un paramétrage d'un sous-ensemble de U par la fonction f)
       On note p(x) = p(x₁, ... , x_k-n) = y = (y₁, ... , y_k)

Soit F: V -> R définie par F(x) = f(x,p(x))

Je cherche donc une méthode, point par point, pour calculer la dérivée partielle de F par rapport à x_i.

J'ai commencé par considérer F comme la composée de f avec x -> (x,p(x)) et j'obtiens:
[tex] \frac{df}{d(x,p(x))}(x,p(x)) * \frac{d(x,p(x))}{dxi}(x)[/tex]

[tex] = (\frac{df}{dx}(x,p(x)) + \frac{df}{dp(x)}(x,p(x)))  * (\frac{dx}{dxi}(x) + \frac{dp}{dxi}(x)) [/tex]

Mais je me retrouve avec une double distributivité, alors que dans la démonstration que j'étudie, il est écrit:
[tex] \frac{dF}{dxi}(x) = \frac{df}{dxi}(x,p(x)) + \sum\limits_{j=1}^k \frac{df}{dyj}(x,p(x))\frac{dpj}{dxi}(x) [/tex]

J'ai vraiment l'impression de m'emmêler les pédales, entre la composition et les indices.

Dernière modification par Zarathoustram (07-12-2019 18:25:08)

Roro

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Re : Dérivation partielle de fonction composée à plusieurs variables

Bonsoir,

La formule indiquée dans la démonstration est correcte.
Pour ce que tu écris avant, je ne comprend pas ce qu'est $\frac{df}{d(x,p(x))}$. En tout cas d'un point de vue mathématique c'est assez déroutant...
La seule formule qu'il faut utiliser est celle-ci, pour tout $i\in \{1,...,n\}$ :
$$\partial_i[f\circ g](x) = \sum_{j=1}^k \partial_i g_j(x) (\partial_jf)(g(x)),$$
où $f:\mathbb R^k \to \mathbb R$ et $g:\mathbb R^n \to \mathbb R^k$. J'ai noté $\partial_k$ la dérivée partielle par rapport à la $k$-ième variable - c'est-à-dire la $k$-ième composante de la variable, et $g_k$ les composantes de $g$.

Tu appliques cette formule avec $g(x)=(x,p(x))\in \mathbb R^n \times \mathbb R^{k-n}$...

Roro.

Zarathoustram

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Re : Dérivation partielle de fonction composée à plusieurs variables

Super, merci beaucoup !