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Zarathoustram

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Calcul d'une norme matricielle pour stabilité d'un schéma numérique

Bonjour tout le monde,

J'ai un petit souci à calculer la norme d'une matrice A de dimension N (qui devrait être inférieur à 1):
[tex]
\begin{aligned}
    \left(
        \begin{array}{ccc}
            1 - \beta &&&& \\
            \beta & 1 - \beta &&& \\
             \ddots & \ddots &&& \\
            && \beta & 1 - \beta & \\
            &&& \beta & 1 - \beta \\
        \end{array}
    \right)
\end{aligned}
[/tex]

avec [tex]0 < \beta < 1[/tex].

J'ai commencé par développer: soit [tex]u\in\mathbb{R}^N[/tex], de norme 1. On a
[tex]
\begin{aligned}
\lVert Au \rVert ^2 &= (1 - \beta)^2u_1 ^2 + \sum_{k=2}^{N} ((1 - \beta)u_k + \beta u_{k-1})^2 \\
&= (1 - \beta)^2 \sum_{k=1}^N u_k ^2 + 2\beta (1 - \beta) \sum_{k = 2}^N u_{k-1}u_k + \beta ^2\sum_{k=2}^N u_{k-1}^2 \\
&= (1 - \beta)^2 + 2\beta (1 - \beta) \sum_{k = 2}^N u_{k-1}u_k + \beta ^2(1 - u_{N} ^2) \quad \text{(car u est de norme 1)}
\end{aligned}
[/tex]

Alors, je peux majorer [tex]1 - \beta[/tex] par 1, mais ça nous donnerait
[tex]\lVert A \rVert ^2 = 1 + 2 \sum_{k = 2}^N u_{k-1}u_k + 1 - u_N ^2 = 2 + 2 \sum_{k = 2}^N u_{k-1}u_k - u_N ^2[/tex].

Il faudrait donc que [tex]\sum_{k = 2}^N u_{k-1}u_k - 2u_N < - \frac{1}{2}[/tex] et j'ai peu d'espoir sur cette piste.

Voilà, voilà, en remerciant quiconque m'apportera une petite idée =)

PS: Je vous donne l'exercice général, au cas où... J'ai un schéma numérique [tex]U^{m+1} = AU^m[/tex] dont je dois vérifier la stabilité. Il faut donc que je montre qu'il existe [tex]C>0[/tex] tel que pour tout [tex]U_0 ^0, U_1 ^1[/tex] et pour tout [tex]m\in \mathbb{N}[/tex], on a
[tex] \lVert U_0 ^m - U_1 ^m\rVert < C\lVert U_0 ^0 - U_0 ^1\rVert[/tex].

Or [tex]U_0 ^m - U_1 ^m = A^m(U_0 ^0 - U_1 ^0)[/tex], donc si [tex]\lVert A\rVert < 1 [/tex], alors [tex] \lVert U_0 ^m - U_1 ^m\rVert < \lVert A\rVert ^m \lVert U_0 ^m - U_1 ^m\rVert < \lVert U_0 ^m - U_1 ^m\rVert[/tex] et c'est gagné.

PPS: Désolé, j'ai pas pris le temps de respecter les symboles inférieur ou égal =')

Dernière modification par Zarathoustram (01-02-2024 18:40:35)

Fred

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Re : Calcul d'une norme matricielle pour stabilité d'un schéma numérique

Bonjour,

  Tu es bien parti, mais il ne faut surtout pas majorer $1-\beta$ par $1$, sinon tu as perdu....
Je penses que tu ferais bien d'utiliser l'inégalité de Cauchy-Schwarz pour majorer
$\left|\sum_{k=2}^N u_{k-1}u_k\right|$ par $1$, et tu sais aussi que $(1-u_n^2)$ est aussi inférieur ou égal à $1$.

Tu ne nous as pas dit où vivait $\beta$, mais j'imagine que c'est dans $[0,1]$. Alors tu auras
$\|Au\|^2\leq (1-\beta)^2+2\beta(1-\beta)+\beta^2$ et on reconnait une identité remarquable.

Rem : ici tu utilises la norme matricielle associée à la norme euclidienne, mais en réalité il y a plein de normes matricielles.

F.

Zarathoustram

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Re : Calcul d'une norme matricielle pour stabilité d'un schéma numérique

Merci beaucoup !

Du coup (juste pour avoir la réponse complète), je pose [tex]v_1 = (0, u_2, ..., u_N)[/tex] et [tex]v_2 = (0, u_1, ..., u_{N-1})[/tex], dont les normes sont inférieures à celle de [tex]u[/tex], donc à 1. Du coup, j'ai:
[tex] \sum_{k=2}^N u_{k-1}u_k = \langle v_1, v_2\rangle < \lVert v_1 \rVert \lVert v_2 \rVert < 1 [/tex].
J'aboutis à ton inégalité, et j'ai [tex](1-\beta)^2 + 2\beta(1-\beta) + \beta ^2 = (1 - \beta + \beta)^2 = 1 [/tex]. Et voilà =)

Oui, j'utilise la norme 2, il faut que je le fasse avec la norme infinie également ;)
Effectivement, [tex]\beta[/tex] est dans [tex][0, 1][/tex], mais je ne vois pas pourquoi c'est une condition suffisante pour la majoration... (c'est ce que je dois montrer: sous la condition [tex]\beta \leq 1[/tex], montrer que le schéma est stable)
Je l'ai fait en norme infinie, là j'ai besoin de la condition [tex]\beta \leq 1[/tex].

Sébastien

PS: Dans l'exercice, [tex]\beta[/tex] est implicitement positif. Il est défini par [tex]\beta = c\frac{\Delta t}{\Delta x}[/tex] avec [tex]c > 0[/tex].

Dernière modification par Zarathoustram (01-02-2024 21:32:52)