Masse de Dirac

Soit $(X,\mathcal A)$ un espace mesurable et $a\in X$. On appelle masse de Dirac ou mesure de Dirac en $a$ la mesure notée $\delta_a$ définie pour $A\in \mathcal A$ par $$\delta_a(A)=\mathbf 1_A(a)=\left\{ \begin{array}{ll} 1&\textrm{ si }a\in A\\ 0&\textrm{ sinon.} \end{array}\right. $$

La masse de Dirac en $a$ est donc une mesure de probabilité sur $(X,\mathcal A)$ dont le support est réduit au singleton $\{a\}$. En particulier, pour tout fonction mesurable $f:(X,\mathcal A)\to (\mathbb C,\mathcal B(\mathbb C)),$ on a $$\int_X f(x)d\delta_a(x)=f(a).$$

Lorsque l'on travaille sur $\mathbb R^n$ et que $a=0,$ la masse de Dirac en $a$ est parfois appelée fonction de Dirac, bien que ce ne soit pas une fonction. De façon informelle, elle peut être considérée comme une fonction qui vaut $0$ ailleurs qu'en $0,$ l'infini en $0,$ et dont l'intégrale est égale à $1.$ Cette fonction est utile comme approximation de fonctions dont la représentation graphique a la forme d'une pointe étroite centrée en $0.$ Elle est souvent utilisée en physique pour modéliser des charges ponctuelles ou des masses ponctuelles.