Indice d'un lacet par rapport à un point
Soit un lacet (ou circuit) $\gamma$ tracé dans $\mathbb C$, et un point $a\in\mathbb C$ n'appartenant pas au support de $\gamma$. On appelle indice de $\gamma$ par rapport à $a$ le nombre : $$\textrm{ind}(\gamma,a)=\frac{1}{2\pi i}\int_\gamma \frac{dz}{z-a}.$$
Ce nombre en apparence curieux a une signification topologique précise : $\textrm{ind}(\gamma,a)$ est toujours un entier relatif qui représente le nombre de tours fait par $\gamma$ autour de $a,$ en comptant positivement les tours effectués dans le sens direct, et négativement ceux effectués dans le sens rétrograde.
Il existe un moyen empirique pour calculer $\textrm{ind}(\gamma,a)$. Tracons une demi-droite d'origine $a$. Elle partage le plan en deux côtés, un côté positif et un coté négatif (on passe du côté négatif au côté positif en suivant le sens trigonométrique). Le support de $\gamma$ coupe cette demi-droite en un nombre fini de points $a_1,\dots,a_q$. A chaque point $a_i$ on associe un nombre $n_i$ qui vaut :
- +1 si $\gamma$ passe du côté positif au côté négatif en $a_i$.
- -1 si $\gamma$ passe du côté négatif au côté positif en $a_i$.
On a alors $\textrm{ind}(\gamma,a)=n_1+\cdots+n_q$.
Exemple :
