Équation de Helmholtz

Lorsqu'on cherche des solutions particulières de l'équation des ondes $$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}-\Delta_x u=0$$ où $u$ est définie sur $\mathbb R^n\times \mathbb R$ et $\Delta_x u$ est le laplacien de $\mathbb R^n$ agissant par rapport aux coordonnées d'espace, on les cherche souvent sous la forme $$u(x,t)=a(x)e^{ik(p(x)-t)}$$ où $a(x)$ est l'amplitude, $p(x)$ est la phase et $k$ est le nombre d'onde ($k=2\pi/l$, avec $l$ la longueur d'onde). On obtient alors l'équation $$\Delta(a(x)e^{ikp(x)})+k^2 a(x)e^{ikp(x)}=0$$ c'est-à-dire que la fonction $a(x)e^{ikp(x)}$ est solution de l'équation aux dérivées partielles en les variables d'espace (le temps n'apparait plus) $$(\Delta+k^2)w=0.$$ Cette dernière équation s'appelle équation de Helmholtz.