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#1 03-11-2018 09:26:05

Marine Ridde
Invité

Résolution équation

Bonjour,je suis en seconde. J’ai l’expression de la fonction f(x)=x^3-3x-2

Avec cela je dois résoudre l’equation suivante : f(x)=0

J’ai commencé mon calcul ainsi:
X^3-3x-2=0
X^3-3x=0-2
X^3-3x=2

Je suis maintenant bloquée. Pourriez-vous m’zider
PS: en réfléchissant un peu j’ai trouvé que la solution est x=-2.
Merci d’avance

#2 03-11-2018 09:42:51

freddy
Membre chevronné
Lieu : Paris
Inscription : 27-03-2009
Messages : 6 572

Re : Résolution équation

Salut,

yoshi sera plus précis que moi, mais bien souvent, en seconde, il faut essayer avec des solutions naturelles type $x=0$, $x=1$ ou $x=-1$ pour voir ce qu'il se passe, car une équation du troisième degré en seconde, ce n'est pas courant.

Donc je peux te dire que ta solution $x=-2$ est fausse, il suffit de vérifier que $(-2)^3=-8$ pour comprendre que $-8+6-2 \ne 0$ et qu'une solution simple est immédiate, comme tu pourras le vérifier.


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#3 03-11-2018 10:57:40

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 13 349

Re : Résolution équation

Bonjour,

Alors tu as mal dû calculer (ou alors étourderie parce que c'est 2 et non -2) :
[tex](-2)^2-3\times(-2)-2= -8+6-2 = -10+6=-4 \neq 0[/tex]
Pourtant ce n'était pas une mauvais idée (pas ce qui a précédé par contre).
Tu peux rechercher une solution dite "évidente" : généralement -1 ou 1.
Pour 1 : 1-3-2 ne va pas...
Par contre, -1 : -1+3-2 = 0.
Donc -1 est solution et $x^3-3x-2$ se factorise donc avec $(x+1$)...
Donc $x^3-3x-2 = (x+1)(....)$
Mais qu'est-ce qu'il y a à la place de (...) ?
Un polynôme du 2nd degré du type $ax^2+bx+c$ et il te faut trouver a, b et c...
$x^3-3x-2 = (x+1)(ax^2+bx+c)$
Tu développes $(x+1)(ax^2+bx+c)$:
$(x+1)(ax^2+bx+c)= ax^3+bx^2+cx+ax^2+bx+c$
Tu réduis :
$(x+1)(ax^2+bx+c)= ax^3+(b+a)x^2+(c+a)x+c$
Et u sais que
$ax^3+(b+a)x^2+(c+a)x+c$  doit être égal à :
$\;\,x^2-3x-2$
que tu vas écrire ainsi :
$\;\,x^2\;\,+ \;\,0x^2+(-3)x-2$
Qui te permet d'obtenir le système (on appelle ce procédé : Identification) suivant :
[tex]\begin{cases}a&=1\\b+a&=0\\c+a&=-3\\c&=-2\end{cases}[/tex]
Eplications :
tu as $ax^3$, tu dois avoir $x^3$ ou encore $1x^3$ d'où la première ligne.
Ensuite tu as $(b+a)x^2$ et il n'y a pas de $x^2$ dans l'équation que tu as au départ :
pas de $x^2$, c'est $0x^2$, d'où le a+b =0

Et ainsi de suite...
Tu tombes sur a =1, b=-1, c=-2
[tex]x^3-3x-2=(x+1)(x^2-x-2)[/tex]
Et il te faudra encore chercher les solutions de $x^2-x-2$.
Là trois possibilités :
- passage par la mise sous forme canonique (si tu as vu)
- tu recherches encore une solution évidente : -1
  Donc tu peux encore factoriser par (x+1) :
  $x^2-x-2=(x+1)(x+d)$ et tu recommences :
  $x^2-x-2=x^2+(d+1)<+d$  et tu procèdes de nouveau par identification...
- observer/comparer. $x^2-x-2$ se factorises par (x+d)(x+e) : 1 devant les $x$ parce que 1 devant $x^2$.
  Tu as $d\times e =-2$.  d et e ne sont pas tous deux fractionnaires parce que -2 est entier, par contre, ils sont de signes opposés.
   Mais si l'un est fractionnaire et l'autre pas d+e est aussi fractionnaire, or d+e, c'est-2
   Donc d et e sont entiers et de signes opposés.
   Deux possibilités : $-2 = -1\times 2$  et  $1\times(-2)$
   Laquelle est la bonne ?
   On sait que d+e= -1 donc négatif donc la valeur du nombre négatif est supérieure à la valeur du nombre positif
   Donc $d\times e = -2 = 1\times(-2)$
   Et tu remplaces dans $(x+d)(x+e)$. tu as ta factorisation complète, donc tes 3 solutions...

@freddy : je viens de voir ton post... tardivement comme d'hab !
  Oui, j'étais bien embêté dans le choix de la méthode...

@+


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#4 03-11-2018 11:25:04

tibo
Membre actif
Inscription : 23-01-2008
Messages : 1 073

Re : Résolution équation

Salut,

Une équation de degré 3 en seconde, sans aucune question intermédiaire ou piste de recherche, j'ai du mal à y croire...
Même en première voire terminale S, je ne vois pas beaucoup d'élèves capable d'y arriver en étant lâché dans la nature comme ça.

S'il y a un énoncé qui va avec, on aimerait bien que tu nous le donnes.
Sinon c'est un devoir maison, dit "à prise d'initiative". C'est donc à toi de trouver des méthodes pour y arriver.
Dans ce cas, tu seras plus évalué sur ton 'imagination', ta capacité à trouver comment faire, même si tu n'arrives pas à conclure.


Première idée : résolution graphique
Tu peux tracer directement la courbe de la fonction $f$ et à toi de voir ce que tu dois en faire...

Ou bien modifier un peu l'équation $f(x)=0$ comme tu as commencé à le faire :
$f(x)=0\ \Leftrightarrow\ x^3=3x+2$
Dans ce cas, il te suffit de tracer les courbes de $x^3$ et de $3x+2$.

N'hésite pas à t'aider d'un logiciel de géométrie dynamique comme géogébra par exemple.


Une autre idée : résolution algébrique
La c'est plus compliqué car en seconde tu n'as pas tous les outils.

Tu peux chercher des solutions "évidentes".
$-2$ n'est pas bon, mais tu n'es pas loin.

Je vais noter $\alpha$ cette solution.
Alors $f$ peut s'écrire sous une autre forme :
$f(x)=(x-\alpha)(x^2+bx+c)$
où $b$ et $c$ sont des réels que tu dois déterminer.



Je te laisse déjà réfléchir avec ça.
Je suis resté peut-être un peu flou, mais il faut bien que tu réfléchisses un peu ^^


[edit] Bon bah, j'ai été devancé par yoshi.
Il détaille beaucoup plus ma seconde idée.

(L'avantage de partir de 2 comme solution évidente est que le polynôme que l'on trouve ensuite est une identité remarquable.)

Dernière modification par tibo (03-11-2018 11:28:58)


A quoi sert une hyperbole?
----- A boire de l'hypersoupe pardi !

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#5 03-11-2018 12:01:23

freddy
Membre chevronné
Lieu : Paris
Inscription : 27-03-2009
Messages : 6 572

Re : Résolution équation

Re,

je complète les copains : on étend la recherche simple à $x=2$ et $x=-2$ aussi, rarement au-delà. Puis, comme a fait yoshi, dès qu'on a une solution, on factorise pour réduire le degré et continuer la recherche (ce sont des trucs que nous faisions quand nous étions jeune :-)) !

PS : mesure la chance extraordinaire que tu as :trois profs spécialisés (encore en activité ou non) se sont mis à ta disposition, Byzance !


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#6 06-11-2018 11:43:26

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 13 349

Re : Résolution équation

Bonjour,

Je ne peux qu'approuver freddy lorsqu'il dit (http://www.bibmath.net/forums/viewtopic … 430#p72430) que notre but est d'aider, pas de noyer et qu'on devrait causer dans le café mathématiqque...
Le sujet commençait à s'enfoncer alors j'ai décidé d'ouvrir une discussion dans ledit café mathématique et vous invite à poursuivre là-bas.
Je vais y copier.coller vos posts à partir du post #6 (Black Jack) inclus...

Je reviens dès que j'ai fini...

@+

[EDIT]
C'est fait !
A vos claviers...

Dernière modification par yoshi (06-11-2018 12:18:34)


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