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Louise

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Nombres complexes

Je ne comprends pas ce devoir maison :

f(z)=z^4-10z^3+38z²-90z+261
1) Démontrer que si z est solution de l'équation, alors son conjugué l'est aussi

yoshi

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Re : Nombres complexes

Bonjour Louise,

Tu aurais quand même dû prêter attention à ceci : 

Pas vu ?
Pas assez gros ou tu avais oublié tes lunettes ?  ;-)
Allez, un petit effort si tu veux une réponse...

Tu écris 1) : c'est vraiment ta première question ? (parce que si c'est vraiment la 1ere question, alors d'accord c'est loin d'être évident pour un TS lambda...)
Sinon quelles sont les précédentes ?
Qu'as-tu fait, qu'est-ce qui te bloque ?

@+

Dernière modification par yoshi (19-10-2016 20:35:45)

yoshi

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Re : Nombres complexes

Bonjour,

Pas de nouvelles. Vexée ?

Je donnerai demain ma solution si je ne trouve pas mieux que ce que j'ai fait grâce au flair et à la chance que ça ait marché...

@+

yoshi

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Re : Nombres complexes

RE,

Sans autre infos (et sauf s'il existe une autre méthode à laquelle je n'ai pas pensé) j'ai pensé à factoriser f(z) en faisant jouer mon pifomètre ou mon aptitude à lire dans le marc de café...
Donc la première idée - classique - qui m'est venue a été de factoriser f(z) en deux parties distinctes puis de trouver un facteur commun entre les factorisations

[tex]f(z) =z^4+38z^2+261-10z^3-90z = (z^2+19)^2-10z^3-90z-100[/tex]
261= 19²-100
[tex]f(z) =z^4+38z^2+261-10z^3-90z = (z^2+19)^2-10(z^3+9z+10)[/tex]
A examiner [tex]z^3+9z+10[/tex] on y décèle une solution évidente z= -1
D'où [tex]z^3+9z+10=(z+1)(z^2+az+10)[/tex]
[tex](z+1)(z^2+az+10) = z^3+az^2+10z+z^2+az+10 = z^3+(a+1)z^2+(a+10)z+10[/tex]
On en déduit a+1= 0  et a+10=9 soit a=-1
Donc
[tex]z^3+9z+10=(z+1)(z^2-z+10)[/tex]   et  [tex]f(z) =z^4+38z^2+261-10z^3-90z = (z^2+19)^2-10(z+1)(z^2-z+10)[/tex]
Pas d'autre factorisation..

Mais j'ai vu : [tex]-10z^3-90z=-10z(z^2+9)[/tex]
Alors au lieu de prendre 19, j'ai décidé d'essayer 9.
[tex]f(z) =z^4+38z^2+261-10z^3-90z = (z^2+9)^2-10z^3+20z^2-90z+180 [/tex]
Et :
[tex]f(z) =z^4+38z^2+261-10z^3-90z = (z^2+9)^2-10(z^3-2z^2+9z-18)[/tex]

Et je vois que si z=2 alors[tex]z^3-2z^2+9z-18=0[/tex]
Donc je pose
[tex]z^3-2z^2+9z-18=(z-2)(z^2+az+9)[/tex]

Et pour voir si ma supputation est exacte je développe
[tex](z-2)(z^2+9) =z^3-2z^2+9z-18[/tex]
Bingo !!

D'où :
[tex]f(z)=z^4+38z^2+261-10z^3-90z = (z^2+9)^2-10(z-2)(z^2+9)=(z^2+9)(z^2+9-10z+20)[/tex]
Et enfin :
[tex]f(z)=z^4-10z^3+38z^2-90z+261 =(z^2+9)(z^2-10z+29)[/tex]
Les racines sont
[tex]z_1,z_2=\pm i\sqrt 3[/tex]
et
[tex]z^2-10z+29=0[/tex]
[tex]\Delta=100-116=-16=(4i)^2[/tex]
D'où
[tex]z_2=\bar{z_1}z'_1,z'_2=\frac{10\pm 4i}{2}= 5\pm 2i[/tex]
[Et je constate que
* [tex]-i\sqrt 3=\overline{i\sqrt 3}[/tex]
* [tex]5-2i=\overline{5+2i}[/tex]

J'ai eu beaucoup de chance sur ce coup-là, donc ce n'est pas la bonne méthode. Je m'en vais chercher autre chose...
J'ai encore essayé  :
- de remplacer z par a+ib : calculs "effroyables", je n'ai rien vu d'intéressant
- calculer [tex]f(z)-f(\bar z)[/tex], avec l'idée que z solution, alors [tex]f(z)=0[/tex] et d'essayer de montrer que [tex]f(z)-f(\bar z)=0[/tex],  et comme [tex]f(z) =0[/tex] alors [tex]f(\bar z)= 0[/tex] aussi, donc [tex]\bar z[/tex] solution aussi. Je n'ai rien vu.
- de diviser les deux membres par \bar z^4.
- de diviser par [tex]z^2[/tex], [tex](z \neq 0[/tex]

Là je suis à court d'idées...

@+

Fred

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Re : Nombres complexes

Salut Yoshi,

  Je crois que c'est en réalité beaucoup plus simple. Comme les coefficients de ton polynôme sont réels, on a
$f(\bar z)=\overline{f(z)}$, en utilisant simplement que $\overline{z^k}=(\bar z)^k$.

F.

yoshi

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Re : Nombres complexes

Salut Fred,

[tex]f(\bar z)=\overline{f(z)}[/tex] : ça ne me serait jamais venu à l'esprit...
Je n'ai jamais encore rencontré ni l'utilisation de cette égalité, ni l'égalité elle même.
Effectivement à partir de là (si z est une solution) :
[tex]f(\bar z)=\overline{f(z)}= \bar 0 = 0[/tex]

Pas de regrets...

Merci.

@+